Question

Верно ли, что если многочлен четвёртой степени не имеет корней, то его нельзя разложить на множители (т. е. представить в виде произ- ведения двух многочленов меньшей степени)? Объясните плз!!! Срочно!!!

Answer 1

Неверно. Можно разложить на 2 квадратных трехчлена, не имеющих действительных корней. Например:
(x^2 + x + 2)(x^2 + x + 1) = x^4+2x^3+4x^2+3x+2

Answer 2

Да, это утверждение верно. Если многочлен четвёртой степени не имеет корней, то это означает, что он не имеет действительных корней вообще, а также комплексных корней. Такой многочлен нельзя разложить на линейные множители над полем вещественных чисел, так как каждый линейный множитель имеет вид (x - a), где "a" — корень многочлена.

Однако любой многочлен четвёртой степени можно разложить на множители в поле комплексных чисел, используя теорему о разложении многочленов на линейные и квадратичные множители. Суть этой теоремы заключается в том, что любой многочлен степени "n" над полем комплексных чисел можно представить в виде произведения "n" линейных множителей. В случае многочлена четвёртой степени, это будет произведение двух линейных и одного квадратичного множителя.

Итак, если многочлен четвёртой степени не имеет корней (включая комплексные), то его нельзя разложить на линейные множители над полем вещественных чисел, но можно разложить на линейные и квадратичные множители над полем комплексных чисел.