Question

Докажите что при любом значении n€Z значение выражения 2n^3+4n-9 кратно 3

Answer 1

Примем известный всем метод математической индукции.
1) Проверим истинность утверждения при n=1, то есть,
$(2\cdot1^2+4\cdot 1-9)~\vdots ~3\\ \\ (-3)~\vdots ~3$
P(1) - истинное утверждение.

2) Предположим, что и при n=k выражение  $(2k^3+4k-9)~\vdots ~3$ истинно.

Покажем, что тогда имеет место P(k+1), то есть  $(2(k+1)^3+4(k+1)-9)~\vdots ~3$

$2(k^3+3k^2+3k+1)+4(k+1)-9)=\\ \\ =2k^3+6k^2+6k+2+4k+4-9=(2k^3+4k-9)+6(k^2+k+1)$
и, как  $(2k^3+4k-9)$ , так и  $6(k^2+k+1)$ делятся на 3, то и их сумма  $(2k^3+4k-9)+6(k^2+k+1)$ делится на 3.

Таким образом, P(k+1) - справедливо утверждение, и, следовательно  $(2n^3+4n-9)~\vdots~3,~~\forall n\in \mathbb{N}$

$(2n^3+4n-9)~\vdots~3,~~\forall n\in \mathbb{Z}$

Answer 2

Давайте докажем данное утверждение методом математической индукции.

Базовый шаг: При n = 0: 20^3 + 40 - 9 = 0 - 9 = -9, что не делится на 3 без остатка.

Предположение индукции: Пусть выражение 2k^3 + 4k - 9 делится на 3 для некоторого k ∈ Z, то есть 2k^3 + 4k - 9 = 3m, где m ∈ Z.

Индукционный переход: Рассмотрим случай k + 1: 2(k+1)^3 + 4(k+1) - 9 = 2(k^3 + 3k^2 + 3k + 1) + 4k + 4 - 9 = 2k^3 + 6k^2 + 6k + 2 + 4k - 5 = (2k^3 + 4k - 9) + 6k^2 + 6k - 3 = 3m + 6k^2 + 6k - 3 (по предположению индукции) = 3(m + 2k^2 + 2k - 1), где m + 2k^2 + 2k - 1 ∈ Z

Таким образом, мы видим, что выражение 2(k+1)^3 + 4(k+1) - 9 также делится на 3.

По принципу математической индукции, данное утверждение верно для всех n ∈ Z.