Question

Помогите решить, пожалуйста: 1) соs(π/2+2x) =√2sinx 2) cos2x-3cosx+2=0 3) 6cos²x-7cosx-5=0 4) 4sin²x-12sinx+5=0

Answer 1

3sin+_12sinx+2=3вот наверно но это не то

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить эти уравнения. Давайте рассмотрим каждое из них по очереди:

1. $\cos\left(\frac{\pi}{2} + 2x\right) = \sqrt{2} \sin x$

Для начала, воспользуемся тригонометрическими тождествами: $\cos\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = \sin \theta$

Используя это тождество, уравнение можно переписать как: $\sin(2x) = \sqrt{2} \sin x$

Теперь давайте рассмотрим два случая: $\sin x = 0$ и $\sin x \neq 0$.

a) Если $\sin x = 0$, то $x = k\pi$, где $k$ - целое число.

b) Если $\sin x \neq 0$, то мы можем разделить обе стороны на $\sin x$:

$\frac{\sin(2x)}{\sin x} = \sqrt{2}$

Используя тригонометрическое тождество $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$:

$2 \cos x = \sqrt{2}$

$\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Известно, что $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, поэтому:

$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ или $x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi k$, где $k$ - целое число.

2. $\cos 2x - 3 \cos x + 2 = 0$

Давайте заметим, что это уравнение квадратное относительно $\cos x$. Проведем замену: $t = \cos x$, тогда уравнение примет вид:

$t^2 - 3t + 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение факторизацией:

$(t - 2)(t - 1) = 0$

Таким образом, $t = 2$ или $t = 1$.

Возвращаясь к исходной переменной:

a) Если $\cos x = 2$, то такого значения косинуса не существует. Косинус всегда лежит в диапазоне [-1, 1].

b) Если $\cos x = 1$, то $x = 2\pi k$, где $k$ - целое число.

3. $6 \cos^2 x - 7 \cos x - 5 = 0$

Давайте воспользуемся квадратным трехчленом и попробуем факторизовать:

$(2 \cos x - 5)(3 \cos x + 1) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения:

a) $2 \cos x - 5 = 0$ => $\cos x = \frac{5}{2}$ - невозможно.

b) $3 \cos x + 1 = 0$ => $\cos x = -\frac{1}{3}$

Мы знаем, что $\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$, поэтому:

$x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k$ - целое число.

4. $4 \sin^2 x - 12 \sin x + 5 = 0$

Давайте воспользуемся квадратным трехчленом и попробуем факторизовать:

$(2 \sin x - 5)(2 \sin x - 1) = 0$