Question

Решите 3 задачи!!! 7 класс! Умножение многочленов!!! 1)Даны три последовательных натуральных числа. Квадрат первого числа на 26 меньше произведения второго и третьего числа. Найдите второе число. 2)Ширина прямоугольника на 2 меньше его длины. Если ширину увеличить на 3 см, а длину-на 4 см, то его площадь увеличится на 32 кв.см. Найдите длину. 3)Верно ли утверждение: произведение любых четырех последовательных натуральных чисел делиться на 8?

Answer 1

1. Примем за х среднее число (мы могли бы принять и первое число за х, но мой вариант изящнее и считать легче).
Итак, если среднее число принять за х, то первое число запишем как х - 1, а последнее как х + 1 (потому что соседние числа отличаются друг от друга на единицу). Учитывая, что квадрат первого числа на 26 меньше произведения второго и третьего числа, составим уравнение и решим его:

$(x-1)^2+26=x(x+1) \\ x^2-2x+1+26=x^2+x \\ x^2-2x+27-x^2-x=0 \\ -3x+27=0 \\ x=27 : 3 \\ x=9$

Следовательно, искомые числа таковы: 8, 9 и 10.
Произведем проверку:
8² + 26 = 9*10
64 + 26 = 90
90 = 90

Ответ: 8, 9, 10.

2. Пусть ширина прямоугольника будет х, тогда его длина будет х + 2; соответственно, площадь будет равна х (х + 2) = х² + 2х. Ширину увеличили на 3 см, т.е. она стала равна х + 3, а длину на 4 см, т.е. стала х + 2 + 4 = х + 6. Учитывая, что площадь увеличилась на 32 см², составим уравнение и решим его:

(х + 3)(х + 6) = х² + 2х + 32
х² + 3х + 6х + 18 = х² + 2х + 32
х² + 9х - х² - 2х = 32 -18
7х = 14
х = 2 (см) - ширина. Значит, длина равна 2 + 2 = 4 (см).

Проверка:
площадь равна 2*4 = 8 (см²).
Если увеличить так, как в условии, то ширина будет равна 5 см, а длина 8 см, т.е. площадь станет равна 5*8 = 40 (см²), что действительно больше изначальной площади на 32 см².

Ответ: длина прямоугольника равна 4 см.

3. Ну, это легко доказать опираясь на свойства делимости чисел: если одна число делится на а, а другое на b, то их произведение делится на произведение чисел а и b. И оно не перестанет делиться на ab, если его умножить на еще какое-нибудь число или на несколько чисел (речь идет о натуральных числах). Из четырех последовательных чисел два будут четными, причем одно из этих четных будет делиться на 4. А если одно число делится на 2, а другое на 4, то их произведение делится на 8.

Answer 2

Давайте решим каждую задачу по порядку:

1. Даны три последовательных натуральных числа. Квадрат первого числа на 26 меньше произведения второго и третьего числа. Найдите второе число.

Пусть первое число равно x, тогда второе число будет (x + 1), а третье число будет (x + 2).

Условие задачи можно записать математически:

x^2 = (x + 1) * (x + 2) - 26

Теперь раскроем скобки и решим уравнение:

x^2 = x^2 + 3x + 2 - 26

Переносим все слагаемые в левую часть уравнения:

x^2 - x^2 - 3x - 2 + 26 = 0

-3x + 24 = 0

Теперь решим уравнение:

-3x = -24

x = -24 / -3

x = 8

Таким образом, первое число равно 8, второе число будет (8 + 1) = 9.

2. Ширина прямоугольника на 2 меньше его длины. Если ширину увеличить на 3 см, а длину на 4 см, то его площадь увеличится на 32 кв.см. Найдите длину.

Пусть длина прямоугольника равна x, тогда ширина будет (x - 2).

Условие задачи можно записать математически:

(x - 2) * x + 32 = x * (x + 4)

Теперь раскроем скобки и решим уравнение:

x^2 - 2x + 32 = x^2 + 4x

Переносим все слагаемые в левую часть уравнения:

x^2 - x^2 - 2x - 4x + 32 = 0

-6x + 32 = 0

Теперь решим уравнение:

-6x = -32

x = -32 / -6

x = 16/3 ≈ 5.33

Таким образом, длина прямоугольника около 5.33 см.

3. Верно ли утверждение: произведение любых четырех последовательных натуральных чисел делиться на 8?

Да, верно. При умножении любых четырех последовательных натуральных чисел, одно из них обязательно будет четным, а значит, их произведение будет делиться на 8. Например, если выбрать числа 2, 3, 4, и 5, их произведение равно 2 * 3 * 4 * 5 = 120, что делится на 8. Это свойство будет выполняться для любых четырех последовательных натуральных чисел.