Question

F(x)=-⅓x³+4x²-7x+18 найдите точки минимума и максимума

Answer 1

Ответ:

$\bf x_{max}=0 ~,~x_{min}=8$

Объяснение:

$\displaystyle \large f(x)=-\frac{1}{3}x ^3+4x^2-7x+18$

Найдём производную , для вычисления производных со степенями- воспользуемся с формулой $\bf (x^n)'=nx^{n-1}$

$\displaystyle \large f'(x)=3*(-\frac{1}{3}x )^2+2*4^1=0\\\large f'(x)=-x^2+8x=0\\\large -x^2+8x=0$

Решим уравнение . Если перед уравнением стоит отрицательный знак - то все знаки уравнения нужно поменять на противоположный.

$\large x^2-8x=0$

Вынесем x за скобки:

$\large x(x-8)=0\\\large x_1=0~~~~~~~~x-8=0\\\large~~~~~~~~~~~~~~~~x=0+8\\~~~~~~~~~~~~~~~~~\large x_2=8$

Найденные корни изобразим на числовой оси(см.фото) . Если знак производной меняется с плюса на минус - то это точка максимума , если знак производной меняется с минуса на плюс - то это точка минимума $\Rightarrow \bf x_{max}=0 ~,~x_{min}=8$

Answer 2

Для нахождения точек минимума и максимума функции, сначала найдем её производную и приравняем её к нулю, чтобы найти критические точки. Затем анализируем вторую производную, чтобы определить, является ли каждая из критических точек точкой минимума или максимума.

Данная функция: $F(x) = -\frac{1}{3}x^3 + 4x^2 - 7x + 18$

1. Найдем производную функции $F'(x)$: $F'(x) = -x^2 + 8x - 7$

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю и решив уравнение: $-x^2 + 8x - 7 = 0$

   Это квадратное уравнение не имеет довольных целых корней, поэтому мы можем воспользоваться формулой для нахождения корней квадратных уравнений:

   $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

   Где в данном случае $a = -1$, $b = 8$, $c = -7$.

   Подставив значения, получим два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = 7$

3. Теперь проанализируем вторую производную, чтобы определить тип каждой из найденных критических точек:

   $F''(x) = -2x + 8$

   • Для $x = 1$: $F''(1) = -2 + 8 = 6$ (положительное значение, значит, точка минимума)
   • Для $x = 7$: $F''(7) = -14 + 8 = -6$ (отрицательное значение, значит, точка максимума)

Таким образом, у функции есть точка минимума при $x = 1$ и точка максимума при $x = 7$.