Question

Найдите критические точки функции укажите какие из них являются точками минимума какие точки максимума f(x) =0,5x²-2x-2,5 f(x) =-4x²+1f(x)=-x²+3x​

Answer 1

Ответ:

$1)\ \ f(x)=0,5x^2-2x-2,5\\\\f'(x)=x-2=0\ \ ,\ \ x=2\\\\znaki\ f'(x):\ \ \ ---(2)+++\\\\{}\qquad \qquad \qquad \ \ \ \searrow \ \ (min)\ \ \nearrow \\\\x_{min}=2\ \ ,\ \ y_{min}=-4,5\ \ ,\ \ \ A(\ 2\ ;\, -4,5\ )\\\\2)\ \ f(x)=-4x^2+1\\\\f'(x)=-8x=0\ \ ,\ \ x=0\\\\znaki\ f'(x):\ \ \ +++(0)---\\\\{}\qquad \qquad \qquad \ \ \ \nearrow \ \ (max)\ \ \searrow \\\\x_{max}=0\ \ ,\ \ y_{max}=1\ \ ,\ \ \ A(\ 0\ ;\ 1\ )$

$3)\ \ f(x)=-x^2+3x\\\\f'(x)=-2x+3=0\ \ ,\ \ x=1,5\\\\znaki\ f'(x):\ \ \ +++(1,5)---\\\\{}\qquad \qquad \qquad \ \ \ \nearrow \ \ \ (max)\ \ \searrow \\\\x_{min}=1,5\ \ ,\ \ y_{min}=2,25\ \ ,\ \ \ A(\ 1,5\ ;\ 2,25\ )$

Answer 2

Чтобы найти критические точки функций и определить, являются ли они точками минимума или максимума, мы сначала найдем их производные, а затем будем исследовать знаки производных в окрестности этих точек. Критические точки функций соответствуют значениям x, где производная равна нулю или не существует.

1. Для функции f(x) = 0.5x² - 2x - 2.5:

Первая производная: f'(x) = 1x² - 2x = x(x - 2).

Критические точки: x = 0 и x = 2.

Теперь мы исследуем знаки производной в окрестности этих точек:

• При x < 0, производная f'(x) отрицательна.
• При 0 < x < 2, производная f'(x) положительна.
• При x > 2, производная f'(x) снова отрицательна.

Из этой информации видно, что:

• x = 0 - это точка максимума, так как производная меняет знак с положительного на отрицательный.
• x = 2 - это точка минимума, так как производная меняет знак с отрицательного на положительный.

2. Для функции f(x) = -4x² + 1:

Первая производная: f'(x) = -8x.

Критические точки: x = 0.

Так как производная f'(x) всегда отрицательна, нет точек минимума или максимума. Функция просто убывает на всей области определения.

3. Для функции f(x) = -x² + 3x:

Первая производная: f'(x) = -2x + 3.

Критические точки: -2x + 3 = 0 -2x = -3 x = 3/2.

Исследуем знаки производной:

• При x < 3/2, производная f'(x) положительна.
• При x > 3/2, производная f'(x) отрицательна.

Из этой информации видно, что:

• x = 3/2 - это точка максимума, так как производная меняет знак с положительного на отрицательный.

Итак, критические точки и их характер для каждой из функций:

1. Для f(x) = 0.5x² - 2x - 2.5:

   • Точка минимума: x = 2.
   • Точка максимума: x = 0.

2. Для f(x) = -4x² + 1:

   • Нет точек минимума или максимума.

3. Для f(x) = -x² + 3x:

   • Точка максимума: x = 3/2.