Question

Найдите критические точки функции. Укажите, какие из них являются точками минимума, какие - точками максимума 20.2. а) f(x) = 3х^2 – 2; в) f(x) = 3х – х^2 + 1; б) f(x) = 7х^2 + 3; г) f(x) = 5х^2 – 8x - 3

Answer 1

Ответ:

$1)\ \ f(x)=3x^2-2\\\\f'(x)=6x=0\ \ \to \ \ x=0\\\\znaki\ f'(x):\ \ \ ---(0)+++\\\\{}\qquad \qquad \qquad \quad \searrow \ \ (min)\ \ \nearrow \\\\x_{min}=0\ \ ,\ \ y_{mix}=-2\ \ ,\ \ \ A(0;-2)\\\\\\2)\ \ f(x)=7x^2+3\\\\f'(x)=14x=0\ \ \to \ \ x=0\\\\znaki\ f'(x):\ \ \ ---(0)+++\\\\{}\qquad \qquad \qquad \quad \searrow \ \ (min)\ \ \nearrow \\\\x_{min}=0\ \ ,\ \ y_{mix}=3\ \ ,\ \ \ A(0;3)$

$3)\ \ f(x)=3x-x^2+1\\\\f'(x)=3-2x=0\ \ \to \ \ x=1,5\\\\znaki\ f'(x):\ \ \ +++(1,5)---\\\\{}\qquad \qquad \qquad \quad \nearrow \ \ \ (max)\ \ \searrow \\\\x_{min}=1,5\ \ ,\ \ y_{mix}=3,25\ \ ,\ \ \ A(\ 1,5\ ;\ 3,25\ )\\\\\\4)\ \ f(x)=5x^2-8x-3\\\\f'(x)=10x-8=0\ \ \to \ \ x=0,8\\\\znaki\ f'(x):\ \ \ ---(0,8)+++\\\\{}\qquad \qquad \qquad \quad \searrow \ \ \ (min)\ \ \nearrow \\\\x_{min}=0,8\ \ ,\ \ y_{mix}=-6,2\ \ ,\ \ \ A(\ 0\ ;\, -6,2\ )$

Answer 2

В) f(x) = 3x - x^2 + 1
Решение:
1) D(f) = ( - ∞; + ∞)
2) f’ (x) = ( 3x - x^2 +1)’ = -2x +3
3) -2x +3=0
-2x = -3 x= 3/2 - критическая точка
4) чертишь такую же прямую как и на остальных ( фото прикреплено ) только снизу пишешь 3/2
5) x= 3/2 - точка минимума

г) f(x) = 5x^2 -8x -3
Решение:
1) D(f) = ( - ∞; + ∞)
2) f’(x) = ( 5x^2 - 8x -3)’ = 10x-8
3) 10x-8=0
10x=8 x=4/5- критическая точка
4) чертишь такую же прямую как и на остальных ( фото прикреплено ) только снизу пишешь 4/5
5) х=4/5- точка минимума

Answer 3

Для нахождения критических точек функции сначала найдем ее производную и приравняем ее к нулю. Затем мы используем тест на определение точек минимума и максимума, а именно вторую производную.

а) f(x) = 3x^2 - 2 Производная: f'(x) = 6x

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю: 6x = 0 x = 0

Точка x = 0 - это единственная критическая точка. Теперь используем вторую производную, чтобы определить, является ли она точкой минимума или максимума:

f''(x) = 6

Так как вторая производная положительна (f''(0) = 6 > 0), то точка x = 0 является точкой минимума.

б) f(x) = 3x - x^2 + 1 Производная: f'(x) = 3 - 2x

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: 3 - 2x = 0 2x = 3 x = 3/2

Точка x = 3/2 - это единственная критическая точка. Теперь используем вторую производную:

f''(x) = -2

Вторая производная отрицательна (f''(3/2) = -2 < 0), поэтому точка x = 3/2 является точкой максимума.

в) f(x) = 7x^2 + 3 Производная: f'(x) = 14x

Критические точки: 14x = 0 x = 0

Точка x = 0 - единственная критическая точка. Используем вторую производную:

f''(x) = 14

Вторая производная положительна (f''(0) = 14 > 0), поэтому точка x = 0 является точкой минимума.

г) f(x) = 5x^2 - 8x - 3 Производная: f'(x) = 10x - 8

Критические точки: 10x - 8 = 0 10x = 8 x = 8/10 x = 4/5

Точка x = 4/5 - единственная критическая точка. Используем вторую производную:

f''(x) = 10

Вторая производная положительна (f''(4/5) = 10 > 0), поэтому точка x = 4/5 является точкой минимума.