Question

Найдите критические точки функции. Укажите, какие из них являются точками минимума, какие - точками максимума 20.2 a)f(x)=3x^2-2б)f(x)=7x^2+3в)f(x)=3x-x^2+1г)f(x) =5x^2-8x-3​

Answer 1

Ответ:

$1)\ \ f(x)=3x^2-2\\\\f'(x)=6x=0\ \ \to \ \ x=0\\\\znaki\ f'(x):\ \ \ ---(0)+++\\\\{}\qquad \qquad \qquad \quad \searrow \ \ (min)\ \ \nearrow \\\\x_{min}=0\ \ ,\ \ y_{mix}=-2\ \ ,\ \ \ A(0;-2)\\\\\\2)\ \ f(x)=7x^2+3\\\\f'(x)=14x=0\ \ \to \ \ x=0\\\\znaki\ f'(x):\ \ \ ---(0)+++\\\\{}\qquad \qquad \qquad \quad \searrow \ \ (min)\ \ \nearrow \\\\x_{min}=0\ \ ,\ \ y_{mix}=3\ \ ,\ \ \ A(0;3)$

$3)\ \ f(x)=3x-x^2+1\\\\f'(x)=3-2x=0\ \ \to \ \ x=1,5\\\\znaki\ f'(x):\ \ \ +++(1,5)---\\\\{}\qquad \qquad \qquad \quad \nearrow \ \ \ (max)\ \ \searrow \\\\x_{min}=1,5\ \ ,\ \ y_{mix}=3,25\ \ ,\ \ \ A(\ 1,5\ ;\ 3,25\ )\\\\\\4)\ \ f(x)=5x^2-8x-3\\\\f'(x)=10x-8=0\ \ \to \ \ x=0,8\\\\znaki\ f'(x):\ \ \ ---(0,8)+++\\\\{}\qquad \qquad \qquad \quad \searrow \ \ \ (min)\ \ \nearrow \\\\x_{min}=0,8\ \ ,\ \ y_{mix}=-6,2\ \ ,\ \ \ A(\ 0\ ;\, -6,2\ )$

Answer 2

Для нахождения критических точек функций, мы начнем с вычисления их производных и найдем значения, при которых производная равна нулю. Затем мы определим, являются ли эти точки точками минимума или максимума, используя вторую производную (критерий второй производной).

a) f(x) = 3x^2 - 2 f'(x) = 6x

Для нахождения критических точек приравниваем производную к нулю: 6x = 0 x = 0

Точка x = 0 - это критическая точка. Теперь давайте используем вторую производную для определения ее типа:

f''(x) = 6

Так как вторая производная положительна (f''(0) = 6), то точка x = 0 является точкой минимума.

b) f(x) = 7x^2 + 3 f'(x) = 14x

Точки, где производная равна нулю: 14x = 0 x = 0

Точка x = 0 - это критическая точка. Теперь используем вторую производную:

f''(x) = 14

Поскольку вторая производная положительна (f''(0) = 14), точка x = 0 является точкой минимума.

в) f(x) = 3x - x^2 + 1 f'(x) = 3 - 2x

Точки, где производная равна нулю: 3 - 2x = 0 2x = 3 x = 3/2

Точка x = 3/2 - это критическая точка. Используем вторую производную:

f''(x) = -2

Так как вторая производная отрицательна (f''(3/2) = -2), точка x = 3/2 является точкой максимума.

г) f(x) = 5x^2 - 8x - 3 f'(x) = 10x - 8

Точки, где производная равна нулю: 10x - 8 = 0 10x = 8 x = 8/10 x = 4/5

Точка x = 4/5 - это критическая точка. Используем вторую производную:

f''(x) = 10

Поскольку вторая производная положительна (f''(4/5) = 10), точка x = 4/5 является точкой минимума.