Question

Помогите решитьДаю много баллов! sin2x + √3 *cos2x = 2cos6x

Answer 1

Решение смотри ниже.

Answer 2

Давайте решим уравнение sin^2(x) + √3 * cos^2(x) = 2cos(6x) по шагам.

1. Заметим, что 2cos(6x) может быть выражено через тригонометрическую формулу двойного угла для косинуса: 2cos(6x) = 2 * cos^2(3x) - 1.

2. Подставим это значение в уравнение:

sin^2(x) + √3 * cos^2(x) = 2 * cos^2(3x) - 1.

3. Далее заметим, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1 (тригонометрическое тождество), так что можем выразить sin^2(x) из данного уравнения:

sin^2(x) = 1 - cos^2(x).

4. Подставим это обратно в уравнение:

(1 - cos^2(x)) + √3 * cos^2(x) = 2 * cos^2(3x) - 1.

5. Теперь объединим все члены с cos^2(x) в левой части уравнения:

1 + (√3 - 1) * cos^2(x) = 2 * cos^2(3x) - 1.

6. Применим теперь формулу двойного угла для косинуса: cos(2a) = 2 * cos^2(a) - 1. Поэтому 2 * cos^2(a) = cos(2a) + 1.

7. Применим эту формулу к 3x: cos(6x) = cos(2 * 3x) = cos(6x).

8. Теперь уравнение принимает вид:

1 + (√3 - 1) * cos^2(x) = cos(6x) + 1.

9. Перенесем все в одну часть уравнения:

(√3 - 1) * cos^2(x) - cos(6x) = 0.

10. Теперь решим полученное квадратное уравнение относительно cos^2(x):

(√3 - 1) * cos^2(x) = cos(6x).

cos^2(x) = cos(6x) / (√3 - 1).

11. Наконец, найдем значения углов, при которых уравнение выполняется:

cos(x) = ± √(cos(6x) / (√3 - 1)).

12. Так как cos(x) лежит в диапазоне [-1, 1], то у нас есть два случая:

а) Если cos(6x) / (√3 - 1) ≤ 1, то существует решение для уравнения. В этом случае, мы можем найти x, взяв обратный косинус от √(cos(6x) / (√3 - 1)):

x = acos(√(cos(6x) / (√3 - 1))).

б) Если cos(6x) / (√3 - 1) > 1, то уравнение не имеет решения.

Итак, решение уравнения зависит от значения выражения cos(6x) / (√3 - 1). Вычислите это выражение и определите, в каком из двух случаев вы находитесь. Если оно меньше или равно 1, то можно найти решение с помощью обратного косинуса.