Question

Знайти суму перших п'яти членів геометричної прогресії (bn), у якій b4=1/16, b5=1/64

Answer 1

$b _{4}= \frac{1}{16}\\b _{5} = \frac{1}{64} \\\\ b_{5} = b_{4} *q\\\\q= \frac{ b_{5} }{ b_{4} }= \frac{ \frac{1}{64} }{ \frac{1}{16} }= \frac{1}{4}\\\\ b_{4} = b_{1}* q^{3} \\\\ b_{1}= \frac{ b_{4} }{ q^{3} }= \frac{ \frac{1}{16} }{( \frac{1}{4}) ^{3} } = \frac{ \frac{1}{16} }{ \frac{1}{64} }=4\\\\S _{5}= \frac{ b_{5} q- b_{1} }{q-1}= \frac{ \frac{1}{64}* \frac{1}{4}-4 }{ \frac{1}{4}-1 } = \frac{ \frac{1}{256}-4 }{- \frac{3}{4} } =- \frac{1023*4}{256*3} =-5 \frac{21}{64}$

Answer 2

B5 = b4 · q → q = 1/64 : 1/16 = 1/4 bn =b1 · q^(n -1)n = 5b5 = b1 · q^4 → b1 =  1/64 : (1/4)^4 = 1/64 · 256 = 4 Sn = b1 · (q^n - 1) / (q - 1)n = 5S5 = (b5 · q - b1) / (q - 1)S5 = (1/64 · 1/4 - 4) / (1/4 - 1) = 341/64 = 5 21/64 = 5,328125Ответ: 5 21/64 или 5,328125 

Answer 3

Для знаходження суми перших п'яти членів геометричної прогресії, нам необхідно спочатку знайти перший член (b1) та знаменник прогресії (r). Знаючи b4 і b5, ми можемо знайти r, а знаючи r, ми знайдемо b1. Потім можемо обчислити суму перших п'яти членів геометричної прогресії (S5).

Геометрична прогресія визначається такою формулою:

bn = b1 * r^(n-1),

де bn - n-ий член прогресії, b1 - перший член прогресії, r - знаменник прогресії, n - номер члена прогресії.

Маємо наступні дані: b4 = 1/16, b5 = 1/64.

Знаходимо знаменник прогресії (r):

b4 = b1 * r^(4-1) => 1/16 = b1 * r^3, b5 = b1 * r^(5-1) => 1/64 = b1 * r^4.

Далі, поділимо дві рівності:

(1/16) / (1/64) = (b1 * r^3) / (b1 * r^4), 4 = 1/r, r = 1/4.

Тепер, знаючи знаменник прогресії r = 1/4, знаходимо перший член прогресії (b1) з першого рівняння:

b4 = b1 * (1/4)^(4-1) => 1/16 = b1 * (1/4)^3, 1/16 = b1 * (1/64), b1 = 1/16 * 64, b1 = 4.

Тепер, коли ми знаємо b1 = 4 та r = 1/4, можемо обчислити суму перших п'яти членів прогресії (S5):

S5 = b1 + b2 + b3 + b4 + b5, S5 = 4 + 4*(1/4) + 4*(1/4)^2 + 4*(1/4)^3 + 4*(1/4)^4, S5 = 4 + 1 + 1/4 + 1/16 + 1/64, S5 = 4 + (64 + 16 + 4 + 1)/64, S5 = 4 + 85/64, S5 = (256 + 85)/64, S5 = 341/64.

Таким чином, сума перших п'яти членів геометричної прогресії дорівнює 341/64.