Question

Найти производную 1) у=sin3х -cos3х и вычислить ее значение, если х=3П/4; 2) у=корень 25-9х если х=1

Answer 1

Решение
Найти производную
1) у=sin3х -cos3х и вычислить ее значение, если х=3П/4;
y` = 3cos3x + 3sin3x 
если х=3П/4
y`(3π/4) = 3cos(3*3π/4) + 3sin(3*3π/4) = 3cos(2π + π/4) +   3sin(2π + π/4) =
= 3cosπ/4 + 3sinπ/4 = 3√2/2 + 3√2/2 = 6√2/2 = 3

2) у=√(25-9х),  если х=1
y` = - 9 / [2√(25 - 9x)
y`(1) = - 9 / [2√(25 - 9*1) = - 9 / (2√16) = - 9 / 8 = - 1(1/8)

Answer 2

Давайте найдем производную функции у по переменной х и вычислим ее значение для заданных значений х.

1. Найти производную функции у = sin(3x) - cos(3x):

Для нахождения производной функции у = sin(3x) - cos(3x) воспользуемся правилами дифференцирования тригонометрических функций.

dy/dx = d/dx(sin(3x)) - d/dx(cos(3x))

d/dx(sin(3x)) = 3cos(3x) (производная sin(kx) равна k*cos(kx))

d/dx(cos(3x)) = -3sin(3x) (производная cos(kx) равна -k*sin(kx))

Теперь соберем все вместе:

dy/dx = 3cos(3x) - (-3sin(3x)) dy/dx = 3cos(3x) + 3sin(3x)

2. Найти производную функции у = √(25 - 9x):

Для нахождения производной функции у = √(25 - 9x) воспользуемся правилом дифференцирования для функции корня.

dy/dx = d/dx(√(25 - 9x))

d/dx(√(25 - 9x)) = (1/2)(25 - 9x)^(-1/2)d/dx(25 - 9x) d/dx(√(25 - 9x)) = (1/2)(25 - 9x)^(-1/2)(-9)

Теперь подставим значение x = 1:

dy/dx = (1/2)(25 - 91)^(-1/2)(-9) dy/dx = (1/2)(25 - 9)^(-1/2)(-9) dy/dx = (1/2)(16)^(-1/2)(-9) dy/dx = (1/2)(1/4)*(-9) dy/dx = -(9/8)

Теперь вычислим значения производных при x = 3π/4:

1. Подставим x = 3π/4 в у = sin(3x) - cos(3x):

y = sin(3 * (3π/4)) - cos(3 * (3π/4)) y = sin(9π/4) - cos(9π/4)

Заметим, что sin(9π/4) и cos(9π/4) равны sin(π/4) и cos(π/4) соответственно, так как синус и косинус имеют период 2π:

y = sin(π/4) - cos(π/4) y = (sqrt(2)/2) - (sqrt(2)/2) y = 0

2. Подставим x = 1 в у = √(25 - 9x):

y = √(25 - 9 * 1) y = √(25 - 9) y = √16 y = 4

Таким образом, при x = 3π/4 функция y = sin(3x) - cos(3x) имеет производную равную 0, а при x = 1 функция y = √(25 - 9x) имеет производную равную -9/8.