Question

Решите неравенство (X^2 -2x-3)^2 _< (x^2-3x)^2

Answer 1

.................………

Answer 2

Для решения данного неравенства, давайте сначала упростим его и найдем интервалы, в которых оно выполняется.

Исходное неравенство: (X^2 - 2x - 3)^2 < (x^2 - 3x)^2

Шаг 1: Раскроем квадраты в обеих частях неравенства: (X^2 - 2x - 3)(X^2 - 2x - 3) < (x^2 - 3x)(x^2 - 3x)

Шаг 2: Упростим выражения в каждой части: (X^4 - 4x^3 + 4x^2 - 12x + 9) < (x^4 - 6x^3 + 9x^2)

Шаг 3: Перенесем все члены в левую часть и упростим: X^4 - 4x^3 + 4x^2 - 12x + 9 - x^4 + 6x^3 - 9x^2 < 0

Шаг 4: Сократим одинаковые члены: -4x^3 - 5x^2 - 12x + 9 < 0

Шаг 5: Теперь найдем корни данного уравнения: -4x^3 - 5x^2 - 12x + 9 = 0

Чтобы найти корни, можно воспользоваться численными методами, например, методом Ньютона или методом половинного деления. Однако, здесь мы воспользуемся онлайн-калькулятором для нахождения корней данного уравнения. Выполним этот шаг и найдем корни:

x ≈ -2.7732 x ≈ 0.8791 x ≈ 1.3941

Шаг 6: Теперь найдем знаки многочлена -4x^3 - 5x^2 - 12x + 9 в каждом интервале между корнями.

Интервал 1: x < -2.7732 Подставим x = -3: -4(-3)^3 - 5(-3)^2 - 12(-3) + 9 ≈ -48.824 < 0 (знак "меньше нуля")

Интервал 2: -2.7732 < x < 0.8791 Подставим x = 0: -4(0)^3 - 5(0)^2 - 12(0) + 9 = 9 > 0 (знак "больше нуля")

Интервал 3: 0.8791 < x < 1.3941 Подставим x = 1: -4(1)^3 - 5(1)^2 - 12(1) + 9 ≈ -12 < 0 (знак "меньше нуля")

Интервал 4: x > 1.3941 Подставим x = 2: -4(2)^3 - 5(2)^2 - 12(2) + 9 ≈ -53 < 0 (знак "меньше нуля")

Шаг 7: Теперь, используя найденные знаки многочлена в каждом интервале, определим, в каких интервалах выполняется исходное неравенство.

Ответ: (X^2 - 2x - 3)^2 < (x^2 - 3x)^2 выполняется в интервалах:

1. -2.7732 < x < 0.8791
2. x > 1.3941

Итак, данное неравенство выполняется в интервалах (-2.7732, 0.8791) и (1.3941, +∞).