Question

F(x)=(x-2)^2*√x Найти производную функции, точки экстремума и промежутки убывания и возрастания.

Answer 1

$f(x)=(x-2)^2 \sqrt{x} \\f'(x)=((x-2)^2)' \sqrt{x} +(x-2)^2( \sqrt{x} )'$
Мы воспользовались формулой 
$f(x)=g(x)h(x)\\f'(x)=(g(x))'h(x)+g(x)(h(x))'$
$f'(x)=((x-2)^2) \sqrt{x} +(x-2)^2( \sqrt{x} )'\\f'(x)=2(x-2) \sqrt{x} +(x-2)^2* \frac{1}{2 \sqrt{x} }\\f'(x)=0\\2(x-2) \sqrt{x} +(x-2)^2* \frac{1}{2\sqrt{x} } =0\\(x-2)(2\sqrt{x} + \frac{x-2}{2\sqrt{x} })=0\\(x-2)* \frac{5x-2}{2\sqrt{x} } =0\\x-2=0\\x=2\\ \frac{5x-2}{2\sqrt{x} }=0 \\5x-2=0\\x= \frac{2}{5}$
Оба корня подходят ,так как наше ОДЗ было x>0 ,так как на 0 делить нельзя 
Нашли экстремумы ,теперь max и min
Нужно на прямой определить знаки ,для этого мы сначала подставим 3
$2(3-2)\sqrt{3}+(3-2)^2* \frac{1}{2\sqrt{3} } =2\sqrt{3} + \frac{1}{2\sqrt{3} } \ \textgreater \ 0$
Следовательно первый знак с право на лево будет "+"
теперь подставим 1
$2(1-2)\sqrt{1} +(1-2)^2* \frac{1}{2\sqrt{1} } =-2+ \frac{1}{2} =-1,5$
Следовательно на интервале от 2/5 до 2 будет "-"
Подставляем 0,1
$2(0,1-2)(x-2)^2 \sqrt{0,1}+(0,1-2)^2* \frac{1}{2(x-2)^2 \sqrt{0,1}} =-3,8(x-2)^2 \sqrt{0,1}\\+( \frac{19}{10} )^2* \frac{1}{ \frac{2}{(x-2)^2 \sqrt{10}} } =- \frac{19}{5\sqrt{10} }+ \frac{361\sqrt{10} }{200} = \frac{57\sqrt{10} }{40} \ \textgreater \ 0$
Знак "+" поставим на интервале от -∞ до 0,4
И получаем ,что точка max находится в 0,4
Точка min находится в 2

Answer 2

Для нахождения производной функции F(x) = (x-2)^2 * √x сначала найдем производные компонентов и затем применим правило произведения функций.

1. Найдем производную компонентов: a) Для (x-2)^2: d/dx (x-2)^2 = 2(x-2) * d/dx (x-2) = 2(x-2) * 1 = 2(x-2).

b) Для √x: d/dx √x = 1 / (2√x).

2. Производная функции F(x): F'(x) = d/dx [(x-2)^2 * √x] = 2(x-2) * √x + (x-2)^2 * (1 / (2√x)).

3. Точки экстремума: Точки экстремума соответствуют значениям x, при которых производная F'(x) равна нулю или не существует.

Поставим производную равной нулю и решим уравнение: 2(x-2) * √x + (x-2)^2 * (1 / (2√x)) = 0.

Для удобства, умножим всё уравнение на 2√x, чтобы избавиться от знаменателя: 2(x-2) * √x * 2√x + (x-2)^2 * 1 = 0, 4(x-2) * x + (x-2)^2 = 0, 4x^2 - 8x + x^2 - 4x + 4 = 0, 5x^2 - 12x + 4 = 0.

Решим квадратное уравнение, используя дискриминант: D = b^2 - 4ac, D = (-12)^2 - 4 * 5 * 4, D = 144 - 80, D = 64.

Теперь найдем корни уравнения: x = (-b ± √D) / 2a, x = (12 ± √64) / (2 * 5), x = (12 ± 8) / 10.

Таким образом, получаем два значения x: a) x = (12 + 8) / 10 = 20 / 10 = 2. b) x = (12 - 8) / 10 = 4 / 10 = 0.4.

4. Промежутки убывания и возрастания: Для определения промежутков убывания и возрастания исследуем знаки производной F'(x) на интервалах (-∞, 0.4), (0.4, 2), и (2, +∞).

a) Для интервала (-∞, 0.4): Выберем тестовую точку x = 0 (любое значение меньше 0.4). Подставим её в производную: F'(0) = 2(0-2) * √0 + (0-2)^2 * (1 / (2√0)) = 2(-2) * 0 + 4 * (1 / 0) = 0 + ∞ = ∞.

F'(0) > 0, так как производная положительна, значит, функция возрастает на интервале (-∞, 0.4).

b) Для интервала (0.4, 2): Выберем тестовую точку x = 1 (любое значение между 0.4 и 2). Подставим её в производную: F'(1) = 2(1-2) * √1 + (1-2)^2 * (1 / (2√1)) = 2(-1) * 1 + 1 * (1 / 2) = -2 + 0.5 = -1.5.

F'(1) < 0, так как производная отрицательна, значит, функция убывает на интервале (0.4, 2).

c) Для интервала (2, +∞): Выберем тестовую точку x = 3 (любое значение больше 2). Подставим её в производную: F'(3) = 2(3-2) * √3 + (3-2)^2 * (1 / (2√3)) = 2 * √3 + 1 * (1 / (2√3)).

На интервале (2, +∞) производная F'(x) будет положительной, так как оба слагаемых положительны. Значит, функция возрастает на этом интервале.

Таким образом, промежутки убывания и возрастания функции F(x) выглядят следующим образом:

• Функция убывает на интервале (0.4, 2).
• Функция возрастает на интервалах (-∞, 0.4) и (2, +∞).

Теперь, найденные значения точек экстремума:

• Минимум: x = 0.4 (точка около которой функция переходит из убывания в возрастание).
• Максимум: x = 2 (точка около которой функция переходит из возрастания в убывание).