Question

Найти производную сложной функции: а)Y=(cosx-3x^2)^10 б)y=ln(4x-x^3)

Answer 1

$y'=10(cosx-3x^2)^9*(-sinx-6x)=-10(sinx+6x)(cosx-3x^2)^9$

$y'=\frac{1}{4x-x^3}*(4-3x^2)=\frac{4-3x^2}{4x-x^3}$

Answer 2

Давайте найдем производные данных сложных функций.

а) Y = (cosx - 3x^2)^10

Для нахождения производной этой функции используем цепное правило (chain rule), которое гласит, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции.

Поэтому, если Y = u^10, где u = cosx - 3x^2, то:

Y' = 10u^9 * u',

где u' - производная функции u.

Теперь найдем производную u:

u = cosx - 3x^2

u' = d/dx(cosx) - d/dx(3x^2)

u' = -sinx - 6x

Теперь подставим все значения в исходное уравнение:

Y' = 10(cosx - 3x^2)^9 * (-sinx - 6x)

Ответ: Y' = 10(cosx - 3x^2)^9 * (-sinx - 6x).

б) y = ln(4x - x^3)

Также применим цепное правило, где u = 4x - x^3:

y' = (1/u) * u',

где u' - производная функции u.

Теперь найдем производную u:

u = 4x - x^3

u' = d/dx(4x) - d/dx(x^3)

u' = 4 - 3x^2

Теперь подставим значения в исходное уравнение:

y' = (1/(4x - x^3)) * (4 - 3x^2)

Ответ: y' = (4 - 3x^2)/(4x - x^3).