Question

Найти сложную производную, помогите пож y= sinx-xcosx / cosx+xsinx

Answer 1

-------------------------------

Answer 2

Для нахождения производной данной функции y = (sinx - xcosx) / (cosx + xsinx) воспользуемся правилами дифференцирования.

Для удобства расчетов, обозначим числитель функции за u и знаменатель за v:

u = sinx - xcosx, v = cosx + xsinx.

Тогда функцию можно переписать в виде y = u / v.

Теперь найдем производные u' и v' по x:

u' = (d/dx)(sinx) - (d/dx)(xcosx) = cosx - (x * (-sinx) + cosx) = cosx + xsinx + cosx = 2cosx + xsinx, v' = (d/dx)(cosx) + (d/dx)(xsinx) = -sinx + xcosx + cosx = (x+1)cosx - sinx.

Теперь используем правило дифференцирования для частного функций:

(y)' = (u'v - uv') / v^2.

где u'v = (2cosx + xsinx)(cosx + xsinx), uv' = (sinx - xcosx)((x+1)cosx - sinx).

Теперь подставим выражения для u'v и uv':

(y)' = [(2cosx + xsinx)(cosx + xsinx) - (sinx - xcosx)((x+1)cosx - sinx)] / (cosx + xsinx)^2.

(y)' = [(2cosx + xsinx)(cosx + xsinx) - (sinx - xcosx)(x+1)cosx + (sinx - xcosx)sinx] / (cosx + xsinx)^2.

(y)' = [(2cosx + xsinx)(cosx + xsinx) - (x+1)cosx(sinx - xcosx) + (sinx - xcosx)sinx] / (cosx + xsinx)^2.

(y)' = [(2cosx + xsinx)(cosx + xsinx) - (x+1)cosx(sinx - xcosx) + sin^2x - xcosxsinx] / (cosx + xsinx)^2.

(y)' = [2cos^2x + 2xsinx*cosx + xsin^2x - (x+1)cosx(sinx - xcosx) + sin^2x - xcosxsinx] / (cosx + xsinx)^2.

(y)' = [2cos^2x + 2xsinx*cosx + xsin^2x - xsinxcosx + x^2cos^2x + xcosxsin^2x + sin^2x - xcosxsinx] / (cosx + xsinx)^2.

(y)' = [2cos^2x + xsin^2x + x^2cos^2x + xcosxsin^2x + sin^2x] / (cosx + xsinx)^2.

Теперь упростим числитель:

(y)' = (2cos^2x + xsin^2x + x^2cos^2x + xcosxsin^2x + sin^2x) / (cosx + xsinx)^2.

(y)' = (2cos^2x + xsin^2x + x^2cos^2x + x^2sin^2x + sin^2x) / (cosx + xsinx)^2.

(y)' = (2cos^2x + xsin^2x + x^2(cos^2x + sin^2x)) / (cosx + xsinx)^2.

(y)' = (2cos^2x + xsin^2x + x^2) / (cosx + xsinx)^2.

Таким образом, производная функции y = (sinx - xcosx) / (cosx + xsinx) равна:

(y)' = (2cos^2x + xsin^2x + x^2) / (cosx + xsinx)^2.