Question

Найдите наименьшее значение функции у=13 + е^4x - 4e^3x на отрезке [0;2].

Answer 1

775778656-898575655-87654=886775

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции на отрезке [0;2], мы должны найти критические точки внутри этого интервала и проверить значения функции в этих точках, а также на концах отрезка.

1. Найдем производную функции у по x: у' = d/dx (13 + e^(4x) - 4e^(3x)).

2. Поставим производную равной нулю и решим уравнение для нахождения критических точек: у' = 0.

3. Проверим значения функции у в найденных критических точках и на концах отрезка [0;2].

После этого, наименьшее значение функции будет минимальным значением из всех найденных значений.

1. Найдем производную функции у по x: у' = d/dx (13 + e^(4x) - 4e^(3x)) у' = 0 + 4e^(4x) - 12e^(3x).

2. Поставим производную равной нулю и решим уравнение: 4e^(4x) - 12e^(3x) = 0. Выносим общий множитель e^(3x): 4e^(3x)(e^(x) - 3) = 0. Получаем два возможных значения x: e^(x) - 3 = 0 => e^(x) = 3 => x₁ = ln(3) (приближенно 1.0986) 4e^(3x) = 0 => нет решения, так как экспоненциальная функция не равна нулю.

3. Теперь проверим значения функции у в найденных критических точках и на концах отрезка [0;2].

   a) Подставим x = 0: у(0) = 13 + e^(40) - 4e^(30) = 13 + 1 - 4 = 10.

   b) Подставим x = 2: у(2) = 13 + e^(42) - 4e^(32) ≈ 13 + 54.598 - 73.198 ≈ -5.6.

   c) Подставим x = ln(3): у(ln(3)) = 13 + e^(4ln(3)) - 4e^(3ln(3)) = 13 + 3^4 - 4 * 3^3 ≈ 13 + 81 - 108 = -14.

Наименьшее значение функции на отрезке [0;2] равно приблизительно -14.