Question

Найдите неопределенный интеграл от функции f(x) = (e^0.5x+e^(-0.5x))^2(ответ знаю,пожалуйста покажите решение)

Answer 1

$\int (e^{0.5x} + e^{-0.5x})^2 \, dx = \int (e^{0.5x\cdot 2} + 2\cdot e^{0.5x}\cdot e^{-0.5x} + e^{-0.5x\cdot 2}) \, dx = \\\\ = \int (e^x + e^{-x} + 2) \, dx = e^x - e^{-x} + 2x + C$

Answer 2

Для нахождения неопределенного интеграла от данной функции f(x) = (e^(0.5x) + e^(-0.5x))^2, следует использовать метод интегрирования по частям. Этот метод используется для интегрирования произведения двух функций.

Формула интегрирования по частям: ∫ u dv = uv - ∫ v du

где u и v - это функции, которые мы выбираем, а du и dv - их дифференциалы.

Для данной функции выберем: u = (e^(0.5x) + e^(-0.5x))^2 dv = dx

Теперь найдем du и v: du = d/dx ((e^(0.5x) + e^(-0.5x))^2) dx du = 2(e^(0.5x) + e^(-0.5x))(0.5e^(0.5x) - 0.5e^(-0.5x)) dx du = (e^(0.5x) + e^(-0.5x))(e^(0.5x) - e^(-0.5x)) dx du = (e^x + 1)(e^x - 1) dx du = (e^(2x) - 1) dx

v = ∫ dx = x

Теперь можем записать наш неопределенный интеграл в виде: ∫ f(x) dx = ∫ (e^(0.5x) + e^(-0.5x))^2 dx = ∫ u dv = uv - ∫ v du = (e^(0.5x) + e^(-0.5x))^2 * x - ∫ x * (e^(2x) - 1) dx

Теперь проведем интегрирование: ∫ (e^(0.5x) + e^(-0.5x))^2 dx = (e^(0.5x) + e^(-0.5x))^2 * x - ∫ x * (e^(2x) - 1) dx = (e^(0.5x) + e^(-0.5x))^2 * x - ∫ (x * e^(2x) - x) dx

Теперь интегрируем каждое слагаемое по отдельности: ∫ x * e^(2x) dx: Для этого используем метод интегрирования по частям снова: u = x dv = e^(2x) dx du = dx v = ∫ e^(2x) dx = 0.5 * e^(2x) ∫ x * e^(2x) dx = x * (0.5 * e^(2x)) - ∫ (0.5 * e^(2x)) dx = 0.5 * x * e^(2x) - 0.5 * ∫ e^(2x) dx = 0.5 * x * e^(2x) - 0.5 * (0.5 * e^(2x)) + C1 = 0.5 * x * e^(2x) - 0.25 * e^(2x) + C1

∫ x dx = 0.5 * x^2 + C2

Теперь можем записать окончательный ответ: ∫ (e^(0.5x) + e^(-0.5x))^2 dx = (e^(0.5x) + e^(-0.5x))^2 * x - ∫ x * (e^(2x) - 1) dx = (e^(0.5x) + e^(-0.5x))^2 * x - (0.5 * x * e^(2x) - 0.25 * e^(2x)) + C1 = (e^(0.5x) + e^(-0.5x))^2 * x - 0.5 * x * e^(2x) + 0.25 * e^(2x) + C1

где C1 и C2 - произвольные постоянные интегрирования.