Question

При каком значении x числа х - 1, 3х - 5 и 9х - 19 являются последовательными членами геометрической прогрессии?

Answer 1

b₁ = х - 1
b₂ = 3х - 5
b₃ = 9х - 19

b₃ : b₂ = b₂ : b₁
(9х - 19)/(3х-5) = (3х-5)/(х-1)
(9x-19)(x-1) = (3x-5)²
9x² - 9x - 19x + 19 = 9x² - 30x + 25
9x² - 28x + 19 - 9x² + 30x - 25 = 0
2x - 6 = 0
2x = 6
x = 3
 
Ответ: при х=3

Answer 2

Используем основное свойство геометрической прогрессии:
$b_n^{2} = b_{n-1} * b_{n+1}$  для всех n>1

Для данной последовательности (х-1);  (3х-5); (9х-19) получаем уравнение на основе основного свойства геометрич. прогрессии.
(3х-5)² = (х-1)· (9х - 19)
9х² - 30х + 25 = 9х² - 9х - 19х + 19
9х² - 30х + 25 - 9х² + 9х + 19х - 19 = 0
- 2х + 6 = 0
- 2х = - 6
х = (-6) : (- 2)
х = 3

Проверим х = 3.
3 - 1 = 2         =>  b₁ = 2 
3 * 3 - 5 = 4    => b₂ = 4 
9*3 - 19 = 8    => b₃ = 8
2;  4;  8 действительно образует геометрическую прогрессию.

Ответ: х = 3

Answer 3

Для того чтобы три числа $х - 1$, $3х - 5$ и $9х - 19$ являлись последовательными членами геометрической прогрессии, должно выполняться следующее условие:

$\frac{{3х - 5}}{{х - 1}} = \frac{{9х - 19}}{{3х - 5}}.$

Для определения значения $х$, решим эту уравнение.

1. Перемножим крест-накрест:

$(3х - 5)(х - 1) = (9х - 19)(3х - 5).$

2. Раскроем скобки:

$3х^2 - 8х + 5 = 27х^2 - 80х + 95.$

3. Перенесем все члены в одну сторону:

$27х^2 - 3х^2 - 80х + 8х + 95 - 5 = 0.$

4. Упростим:

$24х^2 - 72х + 90 = 0.$

5. Теперь попробуем решить это квадратное уравнение:

$х = \frac{{-b ± \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}.$

Где $a = 24$, $b = -72$ и $c = 90$.

$х = \frac{{72 ± \sqrt{{(-72)^2 - 4 \cdot 24 \cdot 90}}}}{{2 \cdot 24}}.$

$х = \frac{{72 ± \sqrt{{5184 - 8640}}}}{{48}}.$

$х = \frac{{72 ± \sqrt{{-3456}}}}{{48}}.$

Подкоренное выражение $-3456$ отрицательно, что означает, что уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что не существует значения $х$, при котором числа $х - 1$, $3х - 5$ и $9х - 19$ будут последовательными членами геометрической прогрессии.