Question

ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ НЕРАВЕНСТВО: (х^2-2х-7)^2<(x^2-6x-3)^2

Answer 1

(х^2-2х-7)^2<(x^2-6x-3)^2
(х^2-2х-7)^2-(x^2-6x-3)^2<0
(х^2-2х-7+(x^2-6x-3))(х^2-2х-7-(x^2-6x-3))<0
(х^2-2х-7+x^2-6x-3)(х^2-2х-7-x^2+6x+3)<0
(2x^2-8x-10)(4x-4)<0
Разделим на 2 обе части неравенства, а потом на 4
(x^2-4x-5)(x-1)<0
(x+1)(x-5)(x-1)<0
Решаем методом интервалов
Контрольные точки -1; 5;1
Расставим их на числовой прямой, прямая разобьётся  на три промежутка, (5; +бесконечность) знак +, (1;5) знак -, (-1;1) знак +,
(-бесконечность;-1) знак-. Нам нужны знак -
x принадлежит промежутку (-бесконечность;-1) знак объединения (1;5).

Answer 2

Для решения данного неравенства, начнем с упрощения выражений в скобках и приведем его к более простому виду. После этого мы сможем найти интервалы значений переменной x, для которых выполняется неравенство.

1. Упростим выражения в скобках:

(х^2 - 2х - 7)^2 < (х^2 - 6х - 3)^2

2. Раскроем квадраты в обеих частях неравенства:

(х^2 - 2х - 7)(х^2 - 2х - 7) < (х^2 - 6х - 3)(х^2 - 6х - 3)

3. Умножим многочлены в обеих частях:

х^4 - 2х^3 - 7х^2 - 2х^3 + 4х^2 + 14х + 7х^2 - 14х - 49 < х^4 - 6х^3 - 3х^2 - 6х^3 + 36х^2 + 18х - 3х^2 + 18х + 9

4. Сгруппируем подобные члены:

х^4 - 4х^3 + 21х^2 - 35х - 49 < х^4 - 12х^3 + 51х^2 + 18х + 9

5. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить ноль на одной стороне неравенства:

0 < -4х^3 + 30х^2 + 53х + 58

6. Теперь посмотрим, какие значения x удовлетворяют неравенству. Для этого рассмотрим знаки второй производной (производной производной) функции, которая представляет собой правую сторону неравенства.

Производная второго порядка данной функции:

f''(x) = -24х + 60

7. Теперь найдем значения x, для которых f''(x) > 0:

-24х + 60 > 0

8. Решим это неравенство:

-24х > -60

х < 5/2

Таким образом, для значений x в интервале (-∞, 5/2) неравенство (х^2 - 2х - 7)^2 < (х^2 - 6х - 3)^2 будет выполняться.