Question

Довести, що якщо сторони прямокутного трикутника утворюють арифметичну прогресію, то різниця цієї прогресії рівна радіусу вписаного в цей трикутник кола.

Answer 1

По условию катеты равны а и а+d (d разность арифметической прогрессии); гипотенуза равна а+2d;
По теореме Пифагора:
(a+2d)^2=a^2+(a+d)^2;
а^2+4ad+4d^2=a^2+a^2+2ad+d^2;
a^2-2ad-3d^2=0;
D=4d^2+12d^2=16d^2;
a=(2d+4d)/2=3d (второй корень отрицательный);
значит, катеты равны a=3d и a+d=3d+d=4d;
гипотенуза равна a+2d=3d+2d=5d;
Формула радиуса вписанной в прямоугольный трегольник окружности:
r=(а+в-с)/2 (a; b катеты; с гипотенуза);
r=(3d+4d-5d)/2;
r=2d/2=d;

Answer 2

Для доведення даної твердження розглянемо прямокутний трикутник зі сторонами a, b та c, де c - гіпотенуза, а b і a - його катети.

За умовою, сторони прямокутного трикутника утворюють арифметичну прогресію. Тоді можемо записати, що:

b = a + d, (1) c = a + 2d. (2)

Де d - різниця арифметичної прогресії.

Згідно теореми про вписаний кут, радіус кола, що вписане в прямокутний трикутник, дорівнює половині його гіпотенузи (знайдімо цей радіус і позначимо його як R).

Тобто, R = c/2. (3)

Також, за відомим виразом для радіуса кола, що описане навколо прямокутного трикутника:

R = (a + b + c)/2. (4)

Підставимо значення b та c з (1) та (2) у (4):

R = (a + a + d + a + 2d)/2.

Скоротимо:

R = (3a + 3d)/2.

Поділимо чисельник і знаменник на 3:

R = (a + d)/2. (5)

Тепер порівняємо вираз (5) з (3):

R = (a + d)/2 = c/2.

Таким чином, ми довели, що радіус R кола, вписаного в прямокутний трикутник, дорівнює половині його гіпотенузи. А оскільки сторони трикутника утворюють арифметичну прогресію, різниця цієї прогресії дорівнює довжині радіуса R вписаного кола.

Отже, ми довели, що різниця арифметичної прогресії сторін прямокутного трикутника дорівнює радіусу вписаного в цей трикутник кола.