Question

Срочно! Найдите значение выражения:а) cos(α-β), если sinα sinβ = 1/2 и α + β = 3π/2б) 3cos(α+β), если cosα cosβ = - 1/2 и α - β = 7π/2Хотя бы один решите, пожалуйста

Answer 1

$Sin \alpha Sin \beta = \frac{Cos( \alpha - \beta )-Cos( \alpha + \beta )}{2}\\\\ \frac{1}{2}= \frac{Cos( \alpha - \beta )-Cos \frac{3 \pi }{2} }{2} \\\\Cos( \alpha - \beta )-0=1 \\\\Cos( \alpha - \beta) =1$

$Cos \alpha Cos \beta = \frac{Cos( \alpha - \beta )+Cos( \alpha + \beta )}{2}\\\\- \frac{1}{2} = \frac{Cos \frac{7 \pi }{2}+Cos( \alpha + \beta ) }{2}\\\\Cos( \alpha + \beta )+0= -1\\\\Cos( \alpha + \beta )=-1$

Answer 2

Давайте решим первое уравнение:

а) Нам дано: sinα * sinβ = 1/2 и α + β = 3π/2.

Мы хотим найти cos(α-β).

1. Начнем с формулы для cos(α-β): cos(α-β) = cosα * cosβ + sinα * sinβ.

2. Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством для cos(α+β): cos(α+β) = cosα * cosβ - sinα * sinβ.

3. Из условия α + β = 3π/2, найдем cos(α+β): cos(3π/2) = 0 (так как cos(π/2) = 0).

4. Заменим cos(α+β) на 0 в тригонометрическом тождестве: 0 = cosα * cosβ - sinα * sinβ.

5. Теперь воспользуемся данным условием sinα * sinβ = 1/2 и найдем cosα * cosβ: 0 = cosα * cosβ - 1/2.

6. Нам также известно, что sin^2θ + cos^2θ = 1. Поэтому sin^2α + cos^2α = 1. Мы можем переписать sinα в виде выражения с помощью известного значения sin^2α: sin^2α + cos^2α = 1, sin^2α = 1 - cos^2α.

7. Заменим sinα в уравнении sinα * sinβ = 1/2 на полученное выражение: (1 - cos^2α) * sinβ = 1/2.

8. Теперь выразим sinβ: sinβ = (1/2) / (1 - cos^2α).

9. Вернемся к уравнению cosα * cosβ - 1/2 = 0 и подставим значение sinβ: cosα * (1/2) / (1 - cos^2α) - 1/2 = 0.

10. Упростим уравнение: cosα / (2 - 2cos^2α) = 1/2.

11. Теперь решим уравнение относительно cosα: cosα = (1/2) * (2 - 2cos^2α), cosα = 1 - cos^2α, cos^2α + cosα - 1 = 0.

12. Решим квадратное уравнение: cosα = (-1 ± √(1 + 4)) / 2, cosα = (-1 ± √5) / 2.

Теперь у нас есть два возможных значения для cosα: (-1 + √5) / 2 и (-1 - √5) / 2.

Так как α + β = 3π/2, и cos(3π/2) = 0, тогда это означает, что cosα * cosβ - sinα * sinβ = 0.

Подставим первое значение cosα = (-1 + √5) / 2 в уравнение и рассчитаем cosβ: (-1 + √5) / 2 * cosβ - 1/2 = 0, cosβ = (1/2) / ((-1 + √5) / 2), cosβ = 1 / (-1 + √5).

Теперь подставим второе значение cosα = (-1 - √5) / 2 в уравнение и рассчитаем cosβ: (-1 - √5) / 2 * cosβ - 1/2 = 0, cosβ = (1/2) / ((-1 - √5) / 2), cosβ = 1 / (-1 - √5).

Таким образом, у нас есть две пары значений (cosα, cosβ):

1. (cosα = (-1 + √5) / 2, cosβ = 1 / (-1 + √5)),
2. (cosα = (-1 - √5) / 2, cosβ = 1 / (-1 - √5)).

Пожалуйста, уточните, какое именно значение выражения вы хотели бы найти, и я помогу вам дальше.