Question

1. В коробке лежат воздушные шарики: 10 красных и 10 синих. Продавец не глядя достает по одному шарику. Сколько шариков ему надо вытащить, чтобы среди них обязательно нашлись а) два шарика одного цвета? б) два шарика разного цвета? в) три шарика одного цвета? 2. Припишите к числу 10 справа и слева по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 12. Выпишите все такие числа. 3. В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при основании равна одной из сторон. Определите углы треугольника. 4. Известно, что и что уравнение не имеет корней. Определите, какой знак имеет число c.

Answer 1

1) а-3, б-11, в -5
2)число будет иметь вид: а10в. На 12 делится, если делится на 4 и на 3. На 4 делится только при в =0, в=4 или в=8. На 3 делится, если а+1+0+в делится на 3. Рассмотрим три варианта при в=0, в=4 и при в=8 
в=0 а может быть 2,5, 8 Тогда это числа 2100, 5100 и 8100
при в=4, а может быть 1, 4,7 тогда это числа 1104, 4104 и 7104
пир в =8, а может быть 3, 6, 9. тогда это числа 3108, 6108 и 9108
3) обозначим углы а- при вершине и в - у основания. тогда получаем из признака подобия треугольников, что а=в/2, тогда в/2+2*в=180. Тогда углы - 36, 72, 72
4)

Answer 2

1. Воздушные шарики: а) Чтобы обязательно найти два шарика одного цвета, продавцу нужно вытащить 11 шариков (по принципу Дирихле: если выбираем из 10 красных и 10 синих, то после выбора 10 шариков у нас обязательно будут 2 шарика одного цвета, либо два красных, либо два синих. При добавлении еще одного шарика он обязательно будет одного из этих цветов).

б) Чтобы обязательно найти два шарика разного цвета, продавцу нужно вытащить 12 шариков (по принципу Дирихле: после выбора 11 шариков у нас могут быть только две ситуации: 10 красных и 1 синий или 10 синих и 1 красный. При добавлении еще одного шарика обязательно найдутся два разных цвета).

в) Чтобы обязательно найти три шарика одного цвета, продавцу нужно вытащить 13 шариков. (по аналогичному принципу).

2. Числа, которые получаются, если приписать по одной цифре к числу 10 справа и слева так, чтобы полученное число делилось на 12:

• 1012
• 1212
• 1412
• 1612
• 1812
• 20212
• ...

3. В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при основании равна одной из сторон. Определите углы треугольника.

Пусть треугольник ABC - равнобедренный треугольник, где AC = BC и биссектриса угла ACD равна стороне AB.

Пусть AC = BC = x, AB = y.

Из свойств равнобедренного треугольника, биссектрисы и углов треугольника известно, что:

y^2 = x(x + y)

Раскроем скобки:

y^2 = x^2 + xy

Теперь заметим, что из условия задачи биссектриса AD также является медианой (так как ABC - равнобедренный), и медиана делит основание на две равные части:

CD = BD = x/2

Теперь, применяя теорему Пифагора к треугольникам ACD и BCD, получим:

x^2 + (x/2)^2 = y^2

Раскроем скобку и упростим:

x^2 + x^2/4 = y^2

Умножим все на 4:

4x^2 + x^2 = 4y^2

5x^2 = 4y^2

Теперь мы получили систему уравнений:

y^2 = x(x + y) 5x^2 = 4y^2

Решим эту систему уравнений:

Из второго уравнения выразим y^2:

y^2 = (5/4)x^2

Подставим выражение для y^2 в первое уравнение:

(5/4)x^2 = x(x + (5/4)x^2)

Упростим:

(5/4)x^2 = x^2 + (5/4)x^3

Перенесем все в одну часть уравнения:

(5/4)x^3 - (3/4)x^2 = 0

Вынесем общий множитель x^2:

(5/4)x^2(x - 3) = 0

Так как x^2 не может быть равно нулю (положительное число в квадрате всегда положительно), то остается:

x - 3 = 0

Отсюда x = 3.

Таким образом, стороны равнобедренного треугольника равны x = 3 и y = (5/4) * 3 = 15/4.

Теперь, чтобы найти углы треугольника, воспользуемся тригонометрией. Пусть угол BAC = α, угол ABC = β.

Из равнобедренности треугольника известно, что угол ABC = угол ACB = β.

Тогда угол BCA = 180° - 2β (сумма углов треугольника равна 180°).

Запишем теперь тригонометрические соотношения для треугольника ABC:

cos(α) = (AC^2 + BC^2 - AB^2) / (2 * AC * BC) [Косинус-теорема]

cos(β) = (AB^2 + BC^2 - AC^2) / (2 * AB * BC) [Косинус-теорема]

cos(180° - 2β) = -cos(2β) = 1 - 2sin^2(β) [Формула для косинуса угла-двойника]

Так как AC = BC = 3 и AB = 15/4, подставим значения в формулы:

cos(α) = (3^2 + 3^2 - (15/4)^2) / (2 * 3 * 3)

cos(β) = ((15/4)^2 + 3^2 - 3^2) / (2 * (15/4) * 3)

cos(180° - 2β) = 1 - 2 * sin^2