Question

Найдите наибольшее значение функции (x) = x +4\x на отрезке [1; 3].

Answer 1

Y=13/3. График в приложенной картинке.

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции $f(x) = \frac{x+4}{x}$ на отрезке $[1;3]$, нужно сначала найти критические точки функции в этом интервале. Критические точки - это точки, где производная функции равна нулю или не существует.

Шаг 1: Найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x+4}{x}\right) = \frac{(x)' \cdot x - x \cdot (x+4)'}{x^2} = \frac{1 \cdot x - x \cdot 1}{x^2} = \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x}$

Шаг 2: Найдем критические точки, приравнивая производную к нулю: $\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x} = 0$ $\frac{1}{x^2} = \frac{1}{x}$ $x = 1$

Шаг 3: Проверим, существует ли производная в точке $x = 3$ (крайний правый конец интервала): $f'(3) = \frac{1}{3^2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{9} - \frac{1}{3} = \frac{1-3}{9} = -\frac{2}{9}$

Производная в $x = 3$ существует, и она не равна нулю.

Шаг 4: Теперь нужно проверить значения функции в найденных критических точках и на концах отрезка $[1;3]$:

• $x = 1$: $f(1) = \frac{1+4}{1} = 5$

• $x = 3$: $f(3) = \frac{3+4}{3} = \frac{7}{3} \approx 2.3333$

Шаг 5: Сравним значения и выберем наибольшее: На отрезке $[1;3]$ наибольшее значение функции $f(x) = \frac{x+4}{x}$ равно 5 и достигается при $x = 1$.

Таким образом, максимальное значение функции на интервале $[1;3]$ равно 5.