Question

Упростите выражение; 1)cos2a-1+2sin^2a 2)(ctga+ctgb)*sina*sinb 3)sin^4a-cos^4a+cos^2a 4)sin(a-b)+sinb*cosa

Answer 1

Решение во вложении..

Answer 2

Давайте упростим данные выражения:

1. cos^2(a) - 1 + 2sin^2(a)

Заметим, что тригонометрическая формула гласит: cos^2(a) + sin^2(a) = 1 Подставим эту формулу в выражение:

cos^2(a) - 1 + 2(1 - cos^2(a))

Теперь упростим:

cos^2(a) - 1 + 2 - 2cos^2(a)

Объединим подобные члены:

2 - cos^2(a)

Таким образом, упрощенное выражение: 2 - cos^2(a)

2. (ctg(a) + ctg(b)) * sin(a) * sin(b)

По определению тангенса, ctg(a) = 1 / tan(a), тогда:

(ctg(a) + ctg(b)) * sin(a) * sin(b) = (1 / tan(a) + 1 / tan(b)) * sin(a) * sin(b)

Общим знаменателем будет tan(a) * tan(b), перемножим числители:

= (tan(b) + tan(a)) * sin(a) * sin(b)

3. sin^4(a) - cos^4(a) + cos^2(a)

Мы знаем, что sin^2(a) + cos^2(a) = 1, поэтому sin^4(a) = (sin^2(a))^2 и cos^4(a) = (cos^2(a))^2. Подставим это в выражение:

(sin^2(a))^2 - (cos^2(a))^2 + cos^2(a)

Теперь воспользуемся разностью квадратов: a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)

(sin^2(a) + cos^2(a))(sin^2(a) - cos^2(a)) + cos^2(a)

Мы знаем, что sin^2(a) + cos^2(a) = 1, поэтому:

1 * (sin^2(a) - cos^2(a)) + cos^2(a)

sin^2(a) - cos^2(a) + cos^2(a)

Таким образом, упрощенное выражение: sin^2(a)

4. sin(a - b) + sin(b) * cos(a)

Воспользуемся тригонометрической формулой для разности синусов:

sin(a - b) = sin(a) * cos(b) - cos(a) * sin(b)

Теперь подставим это обратно в выражение:

sin(a) * cos(b) - cos(a) * sin(b) + sin(b) * cos(a)

Объединим подобные члены:

sin(a) * cos(b) + sin(b) * cos(a) - cos(a) * sin(b)

Таким образом, упрощенное выражение: sin(a) * cos(b) + sin(b) * cos(a)