Question

Найдите промежутки убывания функции y=x^3-15x^2+36x+1

Answer 1

у=х³+15х²-36х+1

у'=2х²+225х-36

2х²+225х-36=0

D=50337, х₁=-(225+-корен 50337)/4, х₂=(225+-корен 50337)/4

Answer 2

Для найти промежутки убывания функции $y = x^3 - 15x^2 + 36x + 1$, следует выполнить следующие шаги:

1. Найдите критические точки функции, где производная равна нулю или не существует.
2. Исследуйте знак производной на интервалах между критическими точками.
3. Определите промежутки убывания функции.

Давайте выполним каждый шаг по порядку:

1. Найдем производную функции $y = x^3 - 15x^2 + 36x + 1$: $y' = 3x^2 - 30x + 36$

2. Найдем критические точки, приравнивая производную к нулю и решая уравнение: $3x^2 - 30x + 36 = 0$

   Для решения этого квадратного уравнения, поделим все его члены на 3: $x^2 - 10x + 12 = 0$

   Теперь факторизуем его: $x^2 - 10x + 12 = (x - 6)(x - 2) = 0$

   Таким образом, критические точки $x = 6$ и $x = 2$.

3. Исследуем знак производной на интервалах между критическими точками и вне них:

   a) Проверим производную на интервале $(-\infty, 2)$: Выберем $x = 0$ и подставим в $y'$: $y'(0) = 3(0)^2 - 30(0) + 36 = 36$. Так как значение $y'$ положительно, то функция возрастает на этом интервале.

   b) Проверим производную на интервале $(2, 6)$: Выберем $x = 4$ и подставим в $y'$: $y'(4) = 3(4)^2 - 30(4) + 36 = 12$. Так как значение $y'$ положительно, то функция возрастает на этом интервале.

   c) Проверим производную на интервале $(6, \infty)$: Выберем $x = 8$ и подставим в $y'$: $y'(8) = 3(8)^2 - 30(8) + 36 = 60$. Так как значение $y'$ положительно, то функция возрастает на этом интервале.

4. Теперь определим промежутки убывания функции. Так как функция возрастает на всех интервалах, то у неё нет промежутков убывания.

Итак, функция $y = x^3 - 15x^2 + 36x + 1$ не имеет промежутков убывания, а возрастает на всей числовой прямой.