Question

Решите срочно! Исследуйте функцию y=2x^3 - 3x^2 на монотонность и экстремумы. Постройте график этой функции.

Answer 1

$y(x)=2x^3-3x^2$

$D(y):=(-\infty;+\infty)$

ищем критические точки:
$y'=(2x^3-3x^2)'=6x^2-6x=6x(x-1)=0\\\\ 6x^2-6x=0\\\\ x^2-x=0\\\\ x(x-1)=0\\\\ x=0\ \ or\ \ x=1$

смотрим, как ведет себя производная функции при переходе через эти точки:
$+++++++[0]---------[1]+++++++\ \textgreater \ x$

производная в точке 0 меняет знак с + на - , что означает, что точка  $0$ являеться максимумом функции  $y(x)$,

производная в точке 1 меняет знак с - на + , что означает, что точка  $1$ являеться минимумом функции  $y(x)$

----------------
тогда промежутки монотонности:
ф-ия $y(x)$ монотонно растет на промежутке  $(-\infty;0)\cup(1;+\infty)$

ф-ия $y(x)$ монотонно убывает на промежутке  $(0;1)$
----------------
ф-ия $y(x)$ пересекает ось ОХ в точкаx  $(0;\ 0),\ (1.5;\ 0)$
$2x^3-3x^2=0\\\\ 2*x^2*(x-1.5)=0\\\\ x=0\ \ or\ \ x=1.5$

ф-ия $y(x)$ пересекает ось ОУ в точке $(0;\ 0)$

на основании этих данных и строиться схематический график

Answer 2

Хорошо, давайте решим вашу задачу.

Чтобы исследовать функцию на монотонность и экстремумы, нам нужно проанализировать её производные и найти точки, в которых производные равны нулю. Затем мы сможем определить, является ли функция возрастающей или убывающей в различных интервалах, а также найти точки экстремума.

Дана функция: y = 2x^3 - 3x^2

1. Найдем производную функции y по x: y' = d/dx (2x^3 - 3x^2) = 6x^2 - 6x

2. Найдем точки, в которых производная равна нулю: 6x^2 - 6x = 0 6x(x - 1) = 0

Таким образом, у нас есть две критические точки: x = 0 и x = 1.

3. Определим интервалы между критическими точками и найдем значения производной в этих интервалах.

4. Построим график функции y = 2x^3 - 3x^2.

Для удобства давайте разобьем решение на несколько шагов.

1. Найдем интервалы между критическими точками:

Если x < 0, производная y' = 6x^2 - 6x будет отрицательной (подставим, например, x = -1: y' = 6 * (-1)^2 - 6 * (-1) = 6 + 6 = 12 > 0), значит, функция убывает.

Если 0 < x < 1, производная y' = 6x^2 - 6x будет положительной (подставим, например, x = 0.5: y' = 6 * (0.5)^2 - 6 * 0.5 = 6 * 0.25 - 3 = 1.5 > 0), значит, функция возрастает.

Если x > 1, производная y' = 6x^2 - 6x снова будет отрицательной (подставим, например, x = 2: y' = 6 * 2^2 - 6 * 2 = 6 * 4 - 12 = 12 - 12 = 0), значит, функция убывает.

2. Найдем точки экстремума:

Так как у нас есть только две критические точки, x = 0 и x = 1, проверим значения функции в этих точках.

• При x = 0: y = 2 * 0^3 - 3 * 0^2 = 0

• При x = 1: y = 2 * 1^3 - 3 * 1^2 = 2 - 3 = -1

3. Построим график функции:

Для наглядности графика исследования функции на монотонность и экстремумы я предположу, что интервалы между критическими точками равны 1 и нарисую график на интервале [-2, 3], чтобы охватить всю интересующую область.

График функции y = 2x^3 - 3x^2:

На графике видно, что функция убывает на интервалах (-∞, 0) и (1, ∞), и возрастает на интервале (0, 1). Точка (0, 0) является локальным минимумом, а точка (1, -1) - локальным максимумом функции.

Это исследование позволяет понять основные характеристики функции y = 2x^3 - 3x^2.