Question

Сколько имеется десятизначных чисел,в записи которых хотя бы две одинаковых цифры?

Answer 1

Всего 10-значных чисел 9*10^9
Посчитаем, сколько из них чисел, у которых все цифры разные.
На 1 месте может стоять любая цифра, кроме 0. 9 вариантов.
На 2 месте любая, кроме той, что стоит на 1 месте. 9 вариантов.
На 3 месте любая, кроме двух первых. 8 вариантов.
И так далее.
На 9 месте любая, кроме 8 первых. 2 варианта.
На 10 месте стоит одна последняя цифра. 1 вариант.
Всего 9*9*8*7*...*2*1 = 9*9! = 3265920
Итак, мы получили: всего 10-значных чисел 9*10^9 = 9000000000
Из них 3265920 чисел, состоящих из всех 10 разных цифр.
У остальных 9000000000 - 3265920 = 8996734080 чисел повторяется хотя бы одна цифра.

Answer 2

Для нахождения количества десятизначных чисел, в записи которых есть хотя бы две одинаковых цифры, мы можем использовать метод комбинаторики.

Есть несколько способов решить эту задачу. Один из них - использовать принцип включения-исключения.

Общее количество десятизначных чисел: $9 \cdot 10^{9}$ (так как первая цифра не может быть нулем).

Количество десятизначных чисел, состоящих только из различных цифр: $9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ (поскольку первая цифра не может быть нулем, оставшиеся 9 цифр могут быть выбраны из 9 возможных, вторая - из 9 оставшихся возможных и так далее).

Теперь мы можем применить принцип включения-исключения, чтобы найти количество десятизначных чисел с хотя бы двумя одинаковыми цифрами:

Количество десятизначных чисел с хотя бы двумя одинаковыми цифрами = Общее количество десятизначных чисел - Количество десятизначных чисел, состоящих только из различных цифр

Таким образом,

Количество десятизначных чисел с хотя бы двумя одинаковыми цифрами = $9 \cdot 10^{9} - 9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$

Вычислим это:

$9 \cdot 10^{9} - 9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 9 \cdot 10^{9} - 9!$

Теперь вычислим результат:

$9 \cdot 10^{9} - 9! = 9 \cdot 10^{9} - 362880 = 9000000000 - 362880 = 8999637120$

Итак, имеется $8999637120$ десятизначных чисел, в записи которых есть хотя бы две одинаковых цифры.