Question

Первый член бесконечной геометрической прогрессии на 8 больше второго, а сумма её членов равна 18. Найти первый член.

Answer 1

Решение на фотографии.

Answer 2

Давайте обозначим первый член геометрической прогрессии через 'a', а её знаменатель (отношение между последующими членами) через 'r'. Таким образом, второй член прогрессии будет равен 'a * r'.

Условия задачи:

1. Первый член больше второго на 8: a = (a * r) + 8

2. Сумма всех членов прогрессии равна 18: a + a * r + a * r^2 + a * r^3 + ... = 18

Мы знаем, что сумма бесконечной геометрической прогрессии с начальным членом 'a' и знаменателем 'r' равна a / (1 - r), если |r| < 1.

Теперь мы можем решить задачу. Сначала найдем 'a' из первого условия:

a = (a * r) + 8 a - a * r = 8 a(1 - r) = 8 a = 8 / (1 - r) ... (1)

Затем найдем 'a' из второго условия:

a + a * r + a * r^2 + a * r^3 + ... = 18 a / (1 - r) = 18 a = 18 * (1 - r) ... (2)

Теперь приравняем уравнения (1) и (2):

8 / (1 - r) = 18 * (1 - r)

Теперь решим уравнение относительно 'r':

8 = 18 * (1 - r) * (1 - r) 8 = 18 * (1 - 2r + r^2) 8 = 18 - 36r + 18r^2 18r^2 - 36r + 10 = 0

Теперь решим квадратное уравнение. Для удобства, разделим все на 2:

9r^2 - 18r + 5 = 0

Применяем квадратную формулу:

r = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

где a = 9, b = -18 и c = 5.

r = (18 ± √((-18)^2 - 4 * 9 * 5)) / 2 * 9 r = (18 ± √(324 - 180)) / 18 r = (18 ± √144) / 18 r = (18 ± 12) / 18

Таким образом, у нас два возможных значения для 'r':

1. r = (18 + 12) / 18 = 30 / 18 = 5/3

2. r = (18 - 12) / 18 = 6 / 18 = 1/3

Теперь, когда у нас есть два значения для 'r', мы можем найти соответствующие значения для 'a' из уравнения (1):

1. a = 8 / (1 - 5/3) = 8 / (1/3) = 8 * 3 = 24

2. a = 8 / (1 - 1/3) = 8 / (2/3) = 8 * 3/2 = 12

Таким образом, первый член геометрической прогрессии может быть либо 24, либо 12, в зависимости от значения знаменателя 'r'.