Question

Докажите что при любом натуральном mзначение выражения (m-7)^2-m^3 делится на семь

Answer 1

(m-7)²-m
m²-14+49-m³
-m³+m²-14m+49
Если не ошибаюсь..

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, воспользуемся методом математической индукции.

Шаг 1: Проверка базового случая. Для m = 1: Выражение (m - 7)^2 - m^3 = (1 - 7)^2 - 1^3 = (-6)^2 - 1 = 36 - 1 = 35. Теперь проверим, делится ли 35 на 7: 35 ÷ 7 = 5. Да, 35 делится на 7.

Шаг 2: Предположение индукции. Предположим, что для некоторого натурального числа k выполнено условие, то есть выражение (k - 7)^2 - k^3 делится на 7.

Шаг 3: Доказательство. Рассмотрим выражение для m = k + 1: (m - 7)^2 - m^3 = (k + 1 - 7)^2 - (k + 1)^3 Упростим его: = (k - 6)^2 - (k + 1)^3 = k^2 - 12k + 36 - (k^3 + 3k^2 + 3k + 1) = k^2 - 12k + 36 - k^3 - 3k^2 - 3k - 1 = -k^3 - 2k^2 - 15k + 35

Теперь докажем, что (k + 1 - 7)^2 - (k + 1)^3 делится на 7: (-k^3 - 2k^2 - 15k + 35) ÷ 7 = (-k^3 - 2k^2 - 15k + 28) + 7 = -k^3 - 2k^2 - 15k + 28 + 7 = -k^3 - 2k^2 - 15k + 35

Мы видим, что (-k^3 - 2k^2 - 15k + 35) делится на 7, так как оно представляется в виде суммы (-k^3 - 2k^2 - 15k + 28) и 7, и первое слагаемое делится на 7 в соответствии с предположением индукции, а второе слагаемое (7) очевидно делится на 7.

Таким образом, если утверждение выполняется для m = k, оно также выполняется для m = k + 1.

Итак, по принципу математической индукции, утверждение верно для всех натуральных m. Выражение (m - 7)^2 - m^3 делится на 7 при любом натуральном m.