Question

Упростите выражение: sin (α-β) sin (α+β) + sin²β + cos²α

Answer 1

$\sin( \alpha - \beta ) \sin( \alpha + \beta ) + { \sin( \beta ) }^{2} + { \cos( \alpha ) }^{2} \\ \cos(2 \beta ) - \cos(2 \alpha ) + { \sin( \beta ) }^{2} + { \cos( \alpha ) }^{2} \\ { \sin( \alpha ) }^{2} + { \cos( \beta ) }^{2}$

Answer 2

Для упрощения данного выражения, воспользуемся формулами тригонометрии. В частности, воспользуемся формулой произведения синусов и косинусов, а также тригонометрической тождеством sin²θ + cos²θ = 1.

Формулы, которые нам понадобятся:

1. Формула произведения синусов: sin(A) * sin(B) = 0.5 * [cos(A - B) - cos(A + B)].
2. Тригонометрическое тождество: sin²θ + cos²θ = 1.

Итак, начнем:

sin(α - β) * sin(α + β) + sin²β + cos²α

1. Применяем формулу произведения синусов для первых двух слагаемых:

sin(α - β) * sin(α + β) = 0.5 * [cos(α - β - (α + β)) - cos(α - β + (α + β))] = 0.5 * [cos(-2β) - cos(2α)] = 0.5 * [cos(2β) - cos(2α)] (косинус является четной функцией)

2. Теперь используем тригонометрическое тождество для упрощения последних двух слагаемых:

sin²β + cos²α = 1 (тригонометрическое тождество)

Таким образом, итоговое упрощенное выражение будет:

0.5 * [cos(2β) - cos(2α)] + 1

Теперь у нас нет возможности упростить выражение дальше, так как нет других тригонометрических тождеств, которые можно было бы применить.