Question

SinX - cosX = 1 Полное решение, пожалуйста

Answer 1

Только у угла в 45° cинус равен косинусу => угол X равен 45°

Answer 2

Для решения уравнения sin(X) - cos(X) = 1, давайте приведем его к более удобной форме.

1. Добавим cos(X) к обеим сторонам уравнения: sin(X) = 1 + cos(X)

2. Мы знаем, что sin^2(X) + cos^2(X) = 1 (тригонометрическая тождество), поэтому cos(X) = ±√(1 - sin^2(X)).

3. Подставим это обратно в исходное уравнение:

sin(X) = 1 ± √(1 - sin^2(X))

4. Теперь разберемся с квадратным корнем. Поскольку sin(X) находится в диапазоне [-1, 1], то выражение (1 - sin^2(X)) также будет неотрицательным, и мы можем избавиться от ± и рассмотреть оба случая:

а) sin(X) = 1 + √(1 - sin^2(X))

б) sin(X) = 1 - √(1 - sin^2(X))

Рассмотрим каждый случай отдельно:

а) sin(X) = 1 + √(1 - sin^2(X))

1. Вычтем sin(X) из обеих сторон: 0 = 1 + √(1 - sin^2(X)) - sin(X)

2. Перенесем 1 на другую сторону: √(1 - sin^2(X)) - sin(X) = -1

3. Возводим обе стороны уравнения в квадрат (это допустимая операция, поскольку оба выражения неотрицательны): (√(1 - sin^2(X)) - sin(X))^2 = (-1)^2 1 - sin^2(X) - 2sin(X)√(1 - sin^2(X)) + sin^2(X) = 1

4. Упростим: -2sin(X)√(1 - sin^2(X)) = 0

5. Теперь у нас есть два возможных варианта:

а.1) sin(X) = 0: Так как sin(0) = 0, это одно из решений.

а.2) √(1 - sin^2(X)) = 0: Для этого случая нужно, чтобы 1 - sin^2(X) = 0. Найдем такие значения X: 1 - sin^2(X) = 0 sin^2(X) = 1 sin(X) = ±1

Но мы уже рассмотрели случай sin(X) = 1 выше. Поэтому этот случай не дает новых решений.

б) sin(X) = 1 - √(1 - sin^2(X))

1. Вычтем sin(X) из обеих сторон: 0 = 1 - √(1 - sin^2(X)) - sin(X)

2. Перенесем 1 на другую сторону: √(1 - sin^2(X)) + sin(X) = 1

3. Возводим обе стороны уравнения в квадрат: (√(1 - sin^2(X)) + sin(X))^2 = 1

4. Упростим: 1 - sin^2(X) + 2sin(X)√(1 - sin^2(X)) + sin^2(X) = 1

5. Упростим еще раз: 2sin(X)√(1 - sin^2(X)) = 0

6. Теперь у нас есть два возможных варианта:

б.1) sin(X) = 0: Так как sin(0) = 0, это одно из решений.

б.2) √(1 - sin^2(X)) = 0: Для этого случая нужно, чтобы 1 - sin^2(X) = 0. Найдем такие значения X: 1 - sin^2(X) = 0 sin^2(X) = 1 sin(X) = ±1

Опять же, мы уже рассмотрели случай sin(X) = 1 выше, и этот случай не дает новых решений.

Таким образом, уравнение sin(X) - cos(X) = 1 имеет два решения: X = 0 и X = π (или X = 180°, если углы измеряются в градусах).