Question

Напишите уравнение касательной к графику функции f(x)=5-1/2x^2 в точке с абсциссой x=3.

Answer 1

$f(x) = 5 - \frac{1}{2x^2} \\ f'(x) = -( \frac{1}{2x^2} )' = -( \frac{-4x}{4x^4} ) = \frac{1}{x^3}\\ f'(3) = \frac{1}{27} \\ f(3) = 5 - \frac{1}{18} = \frac{89}{18} \\ y = f'(x)(x - x_0) + f(x) = \frac{1}{27}(x -3) + \frac{89}{18} = \frac{x}{27} - \frac{1}{9} +\frac{89}{18} = \frac{x}{27} + \frac{29}{9}$

Answer 2

Для нахождения уравнения касательной к графику функции f(x) в определенной точке x=a, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите значение производной функции f(x) по x.
2. Подставьте значение x=a в производную, чтобы найти угловой коэффициент (наклон) касательной.
3. Используйте найденное значение углового коэффициента и точку (a, f(a)) для записи уравнения касательной в форме y = mx + b, где m - угловой коэффициент, а b - значение функции в точке a.

Для функции f(x) = 5 - 1/2x^2, выполним эти шаги:

1. Найдем производную f'(x): f'(x) = d/dx (5 - 1/2x^2) f'(x) = -1/2 * d/dx (x^2) f'(x) = -1/2 * 2x f'(x) = -x

2. Найдем значение производной в точке x=3: f'(3) = -3

3. Теперь используем найденное значение углового коэффициента (-3) и точку (3, f(3)) = (3, 5 - 1/2 * 3^2) = (3, 5 - 9/2) = (3, 1/2) для записи уравнения касательной:

y = mx + b y = -3x + b

Теперь найдем значение b, подставив координаты точки (3, 1/2): 1/2 = -3 * 3 + b 1/2 = -9 + b

Теперь найдем b: b = 1/2 + 9 b = 9.5

Итак, уравнение касательной к графику функции f(x) = 5 - 1/2x^2 в точке с абсциссой x=3:

y = -3x + 9.5