Question

Sin2x=sin4x/2-cos4x/2 решить уравнение на отрезке [-п/2;п/2]

Answer 1

Sin2x=(sin²x/2-cos²x/2)(sin²x/2+cos²x/2)
sin2x=-cosx
2sinxcosx+cosx=0
cosx(2sinx+1)=0
cosx=0⇒x=π/2+πk,k∈z
-π/2≤π/2+πk≤π/2
-1≤1+2k≤1
-1≤k≤0
k=-1  x=π/2-π=-π/2
k=0  x=π/2
2sinx+1=0⇒sinx=-1/2⇒x=-π/6+2πk U x=-5π/6+2πk,k∈z
-π/2≤-π/6+2πk≤π/2
-3≤-1+12k≤3
-1/6≤k≤1/3
k=0  x=-π/6
-π/2≤-5π/6+2πk≤π/2
-3≤-5+12k≤3
1/6≤k≤2/3 нет решения
Ответ {π/2+πk;-π/6+2πk;-5π/6+2πk,k∈z};-π/2;π/2;-π/6

Answer 2

Для решения уравнения sin(2x) = (sin(4x)/2) - (cos(4x)/2) на отрезке [-π/2; π/2], нужно следовать определенным шагам:

1. Преобразование уравнения: Используем тригонометрические тождества для преобразования уравнения и упрощения его. Нам известны следующие тригонометрические формулы:

• sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
• sin(4x) = 2sin(2x)cos(2x) = 4sin(x)cos(x)cos(2x)
• cos(4x) = cos^2(2x) - sin^2(2x) = 2cos^2(2x) - 1 = 2(2cos^2(x) - 1)^2 - 1

Подставим эти значения в уравнение: 2sin(x)cos(x) = (4sin(x)cos(x)cos(2x))/2 - (2(2cos^2(x) - 1)^2 - 1)/2

2. Приведение подобных и упрощение: Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателей: 4sin(x)cos(x) = 4sin(x)cos(x)cos(2x) - (2(2cos^2(x) - 1)^2 - 1)

Распишем двойной угол cos(2x): 4sin(x)cos(x) = 4sin(x)cos(x)(2cos^2(x) - 1) - (2(2cos^2(x) - 1)^2 - 1)

Раскроем скобки: 4sin(x)cos(x) = 8sin(x)cos^3(x) - 4sin(x)cos(x) - (8cos^4(x) - 8cos^2(x) + 1)

3. Приведение к одной стороне уравнения: Перенесем все члены в левую сторону уравнения: 8sin(x)cos^3(x) - 4sin(x)cos(x) - 8cos^4(x) + 8cos^2(x) - 1 = 0

4. Факторизация и решение уравнения: Обозначим sin(x) = t и cos(x) = √(1 - t^2), тогда уравнение примет вид: 8t(1 - t^2)^3 - 4t(1 - t^2) - 8(1 - t^2)^2 + 8(1 - t^2) - 1 = 0

5. Решение уравнения: Это уравнение степени 6 и, к сожалению, его решение аналитически не находится в явном виде. Оно может быть решено численно, используя численные методы, такие как метод Ньютона или метод деления отрезка пополам.

Если вы хотите приближенное численное решение уравнения, вы можете использовать специализированные программы или языки программирования, такие как Python, и написать код для решения этого уравнения на заданном отрезке.