Question

Решить систему уравнений 3 способами: 1) х-у=2 х+у=8 2) 2(х-у)+3(х+у)=38 3(х-у)-2(х+у)=5

Answer 1

3 можно графическим способом, однако с этим у меня чуток проблемы, поэтому решу 2, заранее извините)))))))


1)  + {x-y=2
         x+y=8
   _____________
 2x = 10
x=5

{x=5
5+y=8

{x=5
y=3

Ответ: ( 5; 3)

$\left \{ {{x-y=2}} \atop {x+y=8}} \right. \left \{ {{x=2+y}} \atop {2+y+y=8}} \right.$ (*)

(*)2+y+y=8
2y=6
y=3

$\left \{ {{x=2+y} \atop {y=3}} \right. \left \{ {{x=2+3} \atop {y=3}} \right. \left \{ {{x=5} \atop {y=3} \right.$

Ответ: (5;3)

2)   $\left \{ {{2(x-y)+3(x+y)=38} \atop {3(x-y)+2(x+y)=5}} \right.$
до множим 1 ур. на 1,5

 \left \{ {{3(x-y)+4(x+y)=57} \atop {3(x-y)-2(x+y)=5}} \right. 
$\left \{ {{3x-3y+4x+4y=57} \atop {3x-3y-2x-2y=5}} \right. \left \{ {{7x+y=57} \atop {x-5y=5}} \right. \left \{ {{7(5+5y)+y=57} \atop {x=5+5y}} \right. \left \{ {{35+35y=57} \atop {x=5+5y}} \right. \left \{ {{35y=22} \atop {x=5+5y}} \right.$ 
$\left \{ {{y= \frac{22}{35}} \atop {x=5+5y}} \right. \left \{ {{y= \frac{22}{35}} \atop {x=5+5 * \frac{22}{35} }} \right. \left \{ {{y= \frac{22}{35} \atop {x= \frac{57}{7} }} \right.$

Ответ:  $( \frac{22}{35} ; \frac{57}{7} )$

 \left \{ {{2(x-y)+3(x+y)=38} \atop {3(x-y)+2(x+y)=5}} \right. \left \{ {{2x-2y+3x+3y=38} \atop {3x-3y-2x-2y=5}} \right. \left \{ {{5x+y=38} \atop {x-5y=5}} \right. 
до умножаем второй уравнение на -5

+  $\left \{ {{5x+y=38 }\atop {-5x+25y=-25}} \right.$
____________________
26y=13
y=0,5

$\left \{ {{5x+y=38} \atop {y=0,5}} \right. \left \{ {{5x=37,5} \atop {y=0,5}} \right. \left \{ {{x=7,5} \atop {y=0,5}} \right.$

Ответ: ( 7,5 ; 0,5 )

Answer 2

Для каждой из трех систем уравнений предлагаю решить ее тремя различными способами: методом сложения, методом подстановки и методом определителей. Давайте начнем!

1. Система уравнений: 1.1) x - y = 2 1.2) x + y = 8

Метод сложения:

Сложим оба уравнения, чтобы избавиться от переменной y: (1.1) + (1.2): (x - y) + (x + y) = 2 + 8 2x = 10

Теперь выразим x: x = 10 / 2 x = 5

Теперь найдем y, подставив значение x в одно из исходных уравнений: (1.2): 5 + y = 8 y = 8 - 5 y = 3

Таким образом, решение первой системы уравнений методом сложения: x = 5, y = 3.

Метод подстановки:

Из уравнения (1.1) выразим y через x: y = x - 2

Теперь подставим это выражение во второе уравнение (1.2): x + (x - 2) = 8 2x - 2 = 8 2x = 8 + 2 2x = 10 x = 10 / 2 x = 5

Теперь найдем y, подставив значение x в выражение, которое мы получили из первого уравнения: y = 5 - 2 y = 3

Таким образом, решение первой системы уравнений методом подстановки: x = 5, y = 3.

Метод определителей:

Для этого метода запишем систему уравнений в матричной форме:

| 1 -1 | * | x | = | 2 | | 1 1 | | y | | 8 |

Теперь найдем определитель матрицы коэффициентов (адиционный метод):

det = (1 * 1) - (-1 * 1) = 1 + 1 = 2

Теперь создадим две вспомогательные матрицы, заменяя столбцы матрицы коэффициентов правой стороной:

| 2 -1 | | x | = | 2 | | 8 1 | | y | | 8 |

| 1 2 | | x | = | 2 | | 1 8 | | y | | 8 |

Теперь вычислим определители этих матриц:

det_x = (2 * 8) - (-1 * 8) = 16 + 8 = 24 det_y = (1 * 8) - (2 * 1) = 8 - 2 = 6

Теперь найдем значения x и y, разделив определители на определитель матрицы коэффициентов:

x = det_x / det = 24 / 2 = 12 y = det_y / det = 6 / 2 = 3

Таким образом, решение первой системы уравнений методом определителей: x = 12, y = 3.

2. Система уравнений: 2.1) 2(x - y) + 3(x + y) = 38 2.2) 3(x - y) - 2(x + y) = 5

Метод сложения:

Переупорядочим уравнения, чтобы коэффициенты при x и y были одинаковыми:

2.1) 2x - 2y + 3x + 3y = 38 2.2) 3x - 3y - 2x - 2y = 5

Сложим оба уравнения, чтобы избавиться от переменной y:

(2x + 3x) + (-2y + 3y) = 38 + 5 5x + y = 43

Теперь выразим y: y = 43 - 5x

Теперь подставим это выражение в первое уравнение (2.1): 2(x - y) + 3(x + y) = 38 2(x - (43 - 5x)) + 3(x + (43 - 5x)) = 38

Теперь решим уравнение относительно x:

2(x - (43 - 5x)) + 3(x + (43 - 5x)) = 38 2x - 86 + 10x + 3x + 129 - 15x = 38 2x + 10x + 3x - 15x = 38 - 86 - 129 -4x = -177 x = -177 / -4 x = 44.25

Теперь найдем y, подставив значение x в одно из исходных уравнений: y = 43 - 5x y = 43 - 5 * 44.25 y = 43 - 221.25 y = -178.25

Таким образом, решение второй системы уравнений методом сложения: x = 44.25, y = -178.25.

Метод подстановки:

Из уравнения (2.1) выразим y через x: y = 43 - 5x

Теперь подставим это выражение во второе уравнение (2.2): 3(x - y) - 2(x + y) = 5 3(x - (43 - 5x)) - 2(x + (43 - 5x)) = 5

Теперь решим уравнение относительно x:

3(x - (43 - 5x)) - 2(x + (43 - 5x)) = 5 3x - 129 + 15x - 2x - 86 + 10