Question

Найти промежутки возростания и спадания, и точки екстремума функции: f(x) = x^3 - 3x^2 - 72X - 4

Answer 1

Пишите, если не понятно

Answer 2

Для того чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, а также точки экстремума, нужно выполнить несколько шагов.

1. Найдем производную функции f(x): f'(x) = d/dx (x^3 - 3x^2 - 72x - 4) = 3x^2 - 6x - 72.

2. Найдем критические точки, где производная равна нулю: 3x^2 - 6x - 72 = 0.

3. Решим уравнение: 3(x^2 - 2x - 24) = 0.

4. Разложим на множители: 3(x + 4)(x - 6) = 0.

Отсюда получаем две критические точки: x = -4 и x = 6.

Теперь составим таблицу знаков производной для каждого интервала между критическими точками и вне их:

Интервал	(-∞, -4)	(-4, 6)	(6, +∞)
Знак производной	+	-	+

Теперь найдем значения функции в критических точках и на бесконечностях: f(-4) = (-4)^3 - 3(-4)^2 - 72(-4) - 4 = -60, f(6) = 6^3 - 36^2 - 726 - 4 = -88.

Теперь составим таблицу значений функции для каждого интервала:

Интервал	(-∞, -4)	(-4, 6)	(6, +∞)
Значение функции	???	???	???

Для определения знаков и значений функции на интервалах (-∞, -4) и (6, +∞) нужно рассмотреть знаки производной в этих интервалах.

• В интервале (-∞, -4) производная f'(x) отрицательна (знак "-"), значит, функция убывает на этом интервале. Чтобы определить, как меняется значение функции на этом интервале, возьмем любое число x из этого интервала (например, x = -5) и вычислим значение функции: f(-5) = (-5)^3 - 3(-5)^2 - 72(-5) - 4 = 46.

• В интервале (6, +∞) производная f'(x) положительна (знак "+"), значит, функция возрастает на этом интервале. Чтобы определить, как меняется значение функции на этом интервале, возьмем любое число x из этого интервала (например, x = 7) и вычислим значение функции: f(7) = 7^3 - 37^2 - 727 - 4 = 6.

Теперь окончательно заполняем таблицу значений функции:

Интервал	(-∞, -4)	(-4, 6)	(6, +∞)
Значение функции	46	???	6

Таким образом, промежутки возрастания и убывания функции:

• Функция возрастает на интервале (-∞, -4).
• Функция убывает на интервале (-4, 6).
• Функция возрастает на интервале (6, +∞).

Точки экстремума находятся в критических точках x = -4 и x = 6.

Теперь определим тип каждой из точек экстремума (максимум или минимум). Для этого проанализируем знаки второй производной функции (f''(x)) в каждой из точек.

1. Вычислим вторую производную функции f''(x): f''(x) = d/dx (3x^2 - 6x - 72) = 6x - 6.

2. Подставим значения x = -4 и x = 6 в f''(x):

• Для x = -4: f''(-4) = 6*(-4) - 6 = -30 (отрицательное число).
• Для x = 6: f''(6) = 6*6 - 6 = 30 (положительное число).

По знаку второй производной можно сделать вывод:

• В точке x = -4 функция имеет локальный максимум.
• В точке x = 6 функция имеет локальный минимум.

Итак, промежутки возрастания и убывания функции, а также точки экстремума:

• Функция возрастает на интервале (-∞, -4).
• Функция убывает на интервале (-4, 6).
• Функция возрастает на интервале (6, +∞).
• Точка экстремума: x = -4 (локальный максимум).
• Точка экстремума: x = 6 (локальный минимум).