Question

Докажите тождество: (a^2 + b^2) (a^4 -a^2b^2+b^4) - (a^3-b^3) (a^3+b^3) =2b^6

Answer 1

Решение смотрите на фото.

Answer 2

Для доказательства данного тождества, раскроем скобки и упростим выражение:

Исходное тождество: (a^2 + b^2) (a^4 - a^2b^2 + b^4) - (a^3 - b^3) (a^3 + b^3) = 2b^6

Раскроем скобки:

(a^2 + b^2) (a^4 - a^2b^2 + b^4) = a^6 - a^4b^2 + a^2b^4 + a^2b^2 - a^2b^4 + b^6 (a^3 - b^3) (a^3 + b^3) = a^6 + a^3b^3 - a^3b^3 - b^6

Теперь упростим выражение:

(a^2 + b^2) (a^4 - a^2b^2 + b^4) - (a^3 - b^3) (a^3 + b^3) = (a^6 - a^4b^2 + a^2b^4 + a^2b^2 - a^2b^4 + b^6) - (a^6 + a^3b^3 - a^3b^3 - b^6)

Мы можем упростить выражение, удалив схожие члены:

= a^6 - a^4b^2 + a^2b^4 + a^2b^2 - a^2b^4 + b^6 - a^6 - b^6

Заметим, что a^6 и -a^6, а также b^6 и -b^6 сокращаются:

= - a^4b^2 + a^2b^4 + a^2b^2

Теперь вынесем общий множитель b^2:

= b^2(-a^4 + a^2b^2 + a^2)

Теперь фокусируемся на выражении в скобках -a^4 + a^2b^2 + a^2:

= -(a^4 - a^2b^2 - a^2)

Мы замечаем, что a^4 - a^2b^2 - a^2 является разностью квадратов:

= -((a^2)^2 - 2a^2b^2 + (b^2)^2)

= -((a^2 - b^2)^2)

Таким образом, наше выражение становится:

= -(a^2 - b^2)^2

Используем формулу разности квадратов: a^2 - b^2 = (a + b)(a - b):

= -((a + b)(a - b))^2

Теперь раскроем скобки в квадрате:

= -((a + b)^2(a - b)^2)

Используем еще раз формулу разности квадратов:

= -(a + b)^2(a - b)^2

Заметим, что у нас есть два квадрата, которые равны:

= -(a + b)^2(a + b)^2

Теперь применим формулу квадрата суммы:

= -(a + b)^4

Таким образом, наше исходное выражение сводится к:

(a^2 + b^2) (a^4 - a^2b^2 + b^4) - (a^3 - b^3) (a^3 + b^3) = -(a + b)^4

Однако, если внимательно рассмотреть, мы заметим, что у нас есть минус перед всем выражением:

= -(-(a + b)^4)

Знак минуса перед квадратом делает всю часть положительной:

= (a + b)^4

Наконец, применим формулу для четвертой степени суммы:

= (a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4)

И, наконец, упростим:

= a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4

Как видим, полученное выражение не совпадает с 2b^6. Таким образом, исходное тождество неверно. Верное тождество для данного выражения не существует.