Question

Найдите координаты точек пересечения с осями координат касательных к графику функции Y=(2x-3)/( x+3) имеющих угловой коэффициент 9.

Answer 1

Уравнение касательной у = y'(xo)*(x - xo) + y(xo).

Находим: у=(2x-3)/( x+3),   y' = 9/(x+3)².
Приравниваем производную заданному в условии значению:
9/(x+3)² = 9. Отсюда видно, что знаменатель должен быть равен 1.
(x+3)² = 1.
х² + 6х + 9 = 1,
х² + 6х + 8 = 0.

Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=6^2-4*1*8=36-4*8=36-32=4;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=(√4-6)/(2*1)=(2-6)/2=-4/2=-2;x_2=(-√4-6)/(2*1)=(-2-6)/2=-8/2=-4.
Получили 2 точки касания хо1 = -2 и хо2 = -4.
Значения y'(хо) и  y(xo) равны:
y'(хо1) = 9/(-2+3)² = 9,  и  y(xo1) = (2*(-2)-3)/(-2+3) = -7,
y'(хо2) = 9/(-4+3)²/(-4+3) = 9 и  y(xo2) = (2*(-4)-3)/(-4+3) = 11.
Находим 2 уравнения касательных:
у1к = 9(х + 2) - 7 = 9х + 18 - 7 = 9х + 11.
у2к = 9(х + 4) + 11 = 9х + 36 + 11 = 9х + 47.


Теперь можно получить ответ:
х1 = 0,   у1 = 11,
х2 = 0,   у2 = 47.

у1 = 0 ,  x1 = -11/9,
y2 = 0,   x2 = 47/9.
                   

Answer 2

Для нахождения точек пересечения касательных с осями координат, имеющих угловой коэффициент 9, нужно найти производную функции и использовать ее для нахождения уравнения касательной в общем виде.

1. Найдем производную функции Y по x: Y = (2x - 3) / (x + 3) Y' = d/dx[(2x - 3) / (x + 3)] Y' = [(2 * (x + 3) - (2x - 3) * 1) / (x + 3)^2] Y' = (2x + 6 - 2x + 3) / (x + 3)^2 Y' = 9 / (x + 3)^2

2. Теперь найдем точки пересечения касательных с осями координат, имеющих угловой коэффициент 9.

Когда касательная пересекает ось x, ее угловой коэффициент равен 0, так как ось x горизонтальна.

Угловой коэффициент касательной, пересекающей ось y, равен самому угловому коэффициенту функции в этой точке.

3. Найдем точки пересечения касательных с осью x: Для этого приравняем угловой коэффициент к нулю и решим уравнение:

9 / (x + 3)^2 = 0

Угловой коэффициент не может быть равен нулю, так как это привело бы к отсутствию касательной. Таким образом, касательные не пересекают ось x.

4. Найдем точку пересечения касательной с осью y: Для этого подставим x = 0 в уравнение функции:

Y = (2x - 3) / (x + 3) Y = (2 * 0 - 3) / (0 + 3) Y = -3 / 3 Y = -1

Таким образом, касательная пересекает ось y в точке (0, -1).

Итак, точка пересечения касательной с осью y имеет координаты (0, -1). Касательные не пересекают ось x.