Question

Помогите пожалуйста!!! Найдите произведение корней уравнения log4 x-2=3logx 4

Answer 1

$log_4x-2=3log_x4 \\ log_4x-3log_x4=2 \\ log_4x-6log_x2=2 \\ log_2x-12log_x2=4 \\ log_2x-12 \frac{1}{log_2x} = 4 \\ log_2x = y \\ y-12 \frac{1}{y} = 4 \\ y^2-4y-12=0 \\ y_1 = -2 \ ; \ y_2 = 6 \\ \\ log_2x = -2 \\ x = \frac{1}{4} \\ log_2x = 6 \\ x = 64 \\ \\ x_1 \cdot x_2 = 0,25 \cdot 64 = 16$

Answer 2

Для начала, давайте решим уравнение:

log₄(x - 2) = 3 * log₄(x)

Чтобы упростить уравнение, воспользуемся свойством логарифмов: logₐ(b) = c эквивалентно a^c = b.

Таким образом, уравнение примет вид:

4^(3 * log₄(x)) = x - 2

Теперь воспользуемся свойством logₐ(b) = (log_c(b)) / (log_c(a)):

log₄(x^3) = log₄(x - 2)

Так как логарифмы равны, а основание у них одинаковое, то и аргументы должны быть равны:

x^3 = x - 2

Теперь приведем уравнение к стандартному виду (равенство нулю):

x^3 - x + 2 = 0

Данное уравнение не может быть решено в явном виде, так как это кубическое уравнение. Можно воспользоваться численными методами для приближенного нахождения его корней.

Если нужно найти произведение корней, то воспользуемся формулой Виета для кубических уравнений:

Пусть у нас есть кубическое уравнение вида: ax^3 + bx^2 + cx + d = 0.

Тогда произведение корней (x₁, x₂, x₃) равно: x₁ * x₂ * x₃ = -d / a.

В нашем случае у нас a = 1 и d = 2:

Произведение корней x₁ * x₂ * x₃ = -2 / 1 = -2.

Таким образом, произведение корней исходного уравнения log₄(x - 2) = 3 * log₄(x) равно -2.