Question

Упростить выражение ( синус альфа+косинус альфа) в квадрате+( синус альфа-косинус альфа) в квадрате-2 спасибо

Answer 1

$(sin\alpha+cos\alpha)^2+(sin\alpha-cos\alpha)^2-2= \\ = sin^2\alpha+2sin\alpha cos\alpha +cos^2\alpha+sin^2\alpha-2sin\alpha cos\alpha+cos^2\alpha-2= \\ =2sin^2\alpha+2cos^2\alpha -2 = \\ = 2(sin^2\alpha+cos^2\alpha) -2 = \\ = 2 \cdot 1 -2= 2-2 = 0$

Answer 2

Для упрощения данного выражения, воспользуемся формулами тригонометрии.

Формула 1: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ - тождество Пифагора для тригонометрических функций.

Формула 2: $\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha = -\cos(2\alpha)$ - формула разности для тригонометрических функций.

Теперь рассмотрим выражение:

$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 + (\sin \alpha - \cos \alpha)^2 - 2$

По формуле для квадрата суммы:

$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha$

Теперь по формуле для квадрата разности:

$(\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha$

Объединим результаты:

$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 + (\sin \alpha - \cos \alpha)^2 - 2 = (\sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha) + (\sin^2 \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha) - 2$

С помощью тождества Пифагора (формула 1), упростим:

$(\sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha) + (\sin^2 \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha) - 2 = (1 + 1) - 2 = 2 - 2 = 0$

Таким образом, упрощенное выражение равно 0:

$0$