Question

Найдите производную функции y=3 корень кубический с х

Answer 1

Ответ:

$\tt \displaystyle y'=\frac{1}{\sqrt[3]{x^2} }$

Объяснение:

Дана функция

$\tt \displaystyle y=3 \cdot \sqrt[3]{x}.$

Производная от функции:

$\tt \displaystyle y'=(3 \cdot \sqrt[3]{x})'=3 \cdot (x^{\dfrac{1}{3} })'=3 \cdot \dfrac{1}{3} \cdot x^{\dfrac{1}{3}-1 }= x^{-\dfrac{2}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{x^2} } .$

Answer 2

Для нахождения производной функции $y = \sqrt[3]{x^3}$, где $\sqrt[3]{\cdot}$ обозначает кубический корень, мы можем воспользоваться правилом дифференцирования составной функции. Запишем функцию как $y = (x^3)^{\frac{1}{3}}$ и затем применим правило:

Правило: Если $y = u^n$, где $u$ - функция от $x$, а $n$ - постоянное число, тогда производная $\frac{dy}{dx}$ вычисляется как $\frac{dy}{dx} = n \cdot u^{n-1} \cdot \frac{du}{dx}$.

В данном случае $u = x^3$ и $n = \frac{1}{3}$. Теперь возьмем производную $u$ по $x$:

$\frac{du}{dx} = 3x^2$.

Теперь найдем производную функции $y$ по $x$:

$y = (x^3)^{\frac{1}{3}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} \cdot (x^3)^{\frac{1}{3} - 1} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} \cdot (x^3)^{-\frac{2}{3}} \cdot 3x^2$

Теперь упростим выражение:

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3x^2}{x^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3}$

Итак, производная функции $y = \sqrt[3]{x^3}$ равна $\frac{1}{3}$.