Question

В параллелограмме MNPQ через точку О пересечения диагоналей проходит прямая , пересекающая NP и MQ в точках А и В. а) Докажите, что АО=ОВ б) Найдите NP , NA =3 см, MB =2см

Answer 1

А) Рассмотрим ΔMBO и ΔAPO
1) ∠AOP=∠MOB - как вертикальные углы
2) ∠OMB=∠APO - как накрест лежащие углы при параллельных прямых NP и MQ и секущей MP. (NP//MQ - по определению параллелограмма) 
3) MO=OP - по свойству параллелограмма (точкой пересечения делит диагонали пополам)
Значит ΔMBO и ΔAPO равны по двум углам и стороной между ними. Следовательно AO=OB - как соответственно равные элементы в равных треугольниках.
б) 1) Из пункта а) ΔMBO = ΔAPO, значит MB=AP=2 см - как соответственно равные элементы в равных треугольниках.
2) NP=NA+AP=3+2=5см

Answer 2

Для доказательства того, что в параллелограмме MNPQ, через точку О пересечения диагоналей проходит прямая, пересекающая NP и MQ в точках А и В, и что АО=ОВ, давайте рассмотрим два треугольника: треугольник АОМ и треугольник ВОQ.

a) Докажем, что АО=ОВ:

1. В параллелограмме MNPQ диагонали MQ и NP делят друг друга пополам. Это означает, что точка О является серединой диагонали MN и MQ.

2. Поскольку точка О является серединой диагонали MQ, то ОМ = ОQ.

3. Также, поскольку точка О является серединой диагонали MN, то ОН = ОP.

4. Теперь рассмотрим треугольник АОМ. Так как ОМ = ОQ, и ОН = ОP, у этого треугольника стороны АО и АМ равны соответственно сторонам ОQ и ОМ.

5. Аналогично, рассмотрим треугольник ВОQ. Так как ОМ = ОQ, и ОН = ОP, у этого треугольника стороны ВО и ВQ равны соответственно сторонам ОМ и ОН.

6. Так как у треугольников АОМ и ВОQ две стороны равны, а это стороны, образованные диагоналями MQ и NP, то треугольники равны по стороне-стороне-стороне (ССС).

7. Из равенства треугольников следует, что угол МАО равен углу ВОQ и угол АОМ равен углу ОВQ.

8. Теперь обратим внимание на параллельные стороны MN и PQ параллелограмма MNPQ. Из условия известно, что MQ является трансверсалью двух параллельных линий MN и PQ, поэтому угол МАО равен углу ОВQ, и угол АОМ равен углу ВОQ. Таким образом, треугольник АОМ равен треугольнику ВОQ по углу-углу-углу (УУУ).

9. Следовательно, все стороны равны: АО = ОВ, АМ = ОQ и АО = ОМ.

Таким образом, доказано, что АО=ОВ.

b) Чтобы найти NP, рассмотрим треугольник АНМ. Из пункта (4) выше мы знаем, что АО = ОМ. Также из условия известно, что АН = 3 см. Зная эти два отрезка, можно найти НМ, используя свойство параллелограмма, что диагонали делят друг друга пополам.

HM = 2 * АН = 2 * 3 см = 6 см.

Таким образом, NP = НМ + МQ = 6 см + 2 см = 8 см.