Question

Вычислить массу неоднородного тела, ограниченного поверхностями z=x^2+y^2 z^2=x^2+y^2 y>=0 Функция плотности - р(x;y;z)=70yz

Answer 1

Решение во вложении.

Answer 2

Чтобы вычислить массу неоднородного тела, ограниченного поверхностями z = x^2 + y^2 и z^2 = x^2 + y^2, с функцией плотности р(x; y; z) = 70yz, мы должны выполнить следующие шаги:

1. Найти границы интегрирования для переменных x, y и z внутри объема тела.
2. Записать массу тела как тройной интеграл по его объему с учетом функции плотности.

Шаг 1: Найдем границы интегрирования для x, y и z.

Поскольку y ≥ 0, то поверхность z = x^2 + y^2 лежит вверху плоскости xy и является верхней поверхностью тела. А поверхность z^2 = x^2 + y^2 лежит снизу и является нижней поверхностью тела. Таким образом, границы интегрирования для x, y и z определяются следующим образом:

0 ≤ y ≤ √(z), -√(z - y^2) ≤ x ≤ √(z - y^2), 0 ≤ z ≤ z.

Шаг 2: Записываем массу тела как тройной интеграл.

Масса тела M выражается следующим образом:

M = ∭ρ(x, y, z) dV,

где dV - элемент объема, равный dV = dx dy dz.

Теперь заменяем функцию плотности р(x; y; z) = 70yz в интеграле:

M = ∭(70yz) dV.

Теперь вставим пределы интегрирования:

M = ∫[0 to √(z)] ∫[-√(z - y^2) to √(z - y^2)] ∫[0 to z] 70yz dx dy dz.

Теперь производим вычисления:

M = 70 ∫[0 to √(z)] ∫[-√(z - y^2) to √(z - y^2)] yz dx dy dz.

Теперь интегрируем по x:

M = 70 ∫[0 to √(z)] yz [x] from [-√(z - y^2) to √(z - y^2)] dy dz.

M = 70 ∫[0 to √(z)] yz (√(z - y^2) - (-√(z - y^2))) dy dz.

M = 70 ∫[0 to √(z)] yz * 2√(z - y^2) dy dz.

Теперь интегрируем по y:

M = 140 ∫[0 to √(z)] y√(z - y^2) dy dz.

Для интегрирования этого выражения, сделаем замену переменных:

y^2 = t,

2y dy = dt,

dy = (1/2) dt.

Теперь границы интегрирования изменятся:

y = 0 → t = 0,

y = √(z) → t = z.

Интеграл теперь примет вид:

M = 140 ∫[0 to z] (1/2) t√(z - t) dt.

Теперь произведем окончательное вычисление интеграла:

M = 70 ∫[0 to z] t√(z - t) dt.

Здесь потребуется использовать метод интегрирования по частям или подобные методы для окончательного вычисления массы тела. Однако, точные числовые значения массы тела требуют знания конкретных значений верхнего предела интегрирования z, чтобы закончить вычисления.