Question

Докажите что при любом значении р уравнение х^2+рх+р-1=0 имеет хотя бы один корень

Answer 1

х² + рх + р - 1 = 0

D = b² - 4ac

a = 1;

b=p;

c= p-1

D = p²-4·1·(p-1) = p²-4p+4 = (p-2)²

D = (p-2)² 

(p-2)² ≥0

1) D = 0 при р=2, поэтому уравнение х²+рх+р-1=0 имеет

один корень х = - р/2.

2) D>0 при любом значении р, кроме р=2, уравнение х²+рх+р-1=0 имеет два корня.

Answer 2

Для того чтобы доказать, что уравнение $x^2 + px + (p-1) = 0$ имеет хотя бы один корень при любом значении $p$, мы можем воспользоваться методом дискриминанта.

Дискриминант $D$ квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется по формуле: $D = b^2 - 4ac$.

В нашем уравнении $x^2 + px + (p-1) = 0$ коэффициенты $a$, $b$, и $c$ соответственно равны: $a = 1$, $b = p$, $c = p - 1$.

Теперь, чтобы уравнение имело хотя бы один корень, дискриминант должен быть неотрицательным, то есть $D \geq 0$.

Подставим значения коэффициентов в формулу для дискриминанта:

$D = p^2 - 4 \cdot 1 \cdot (p-1) = p^2 - 4p + 4.$

Теперь нам нужно проверить, когда $D \geq 0$:

$p^2 - 4p + 4 \geq 0.$

Мы можем упростить это неравенство:

$(p-2)^2 \geq 0.$

Теперь поймём, когда выражение $(p-2)^2$ будет неотрицательным. Такое произойдёт всегда, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.

Таким образом, уравнение $x^2 + px + (p-1) = 0$ имеет хотя бы один корень при любом значении $p$, потому что дискриминант $D$ всегда неотрицателен.