Question

1) Найдите значение числ. выражения 8^2/3+(1/81)^-3/4+25^0.5 2) 4^x+2=32 ; 5^x-5^x-2=24 3)3^2x-8≥27^3x

Answer 1

$\mathtt{8^{\frac{2}{3}}+(\frac{1}{81})^{-\frac{3}{4}}+25^{\frac{1}{2}}=(2^3)^{\frac{2}{3}}+(3^4)^{\frac{3}{4}}+(5^2)^{\frac{1}{2}}=2^2+3^3+5=36}$

$\mathtt{4^{x+2}=(2^2)^{x+2}=2^{2x+4}=32=2^5,~\to~2x+4=5;~2x=1;~x=\frac{1}{2}}$

$\mathtt{5^x-5^{x-2}=5^x(1-5^{-2})=5^x(1-\frac{1}{25})=24;~5^x=\frac{24*25}{24}=5^2,~\to~x=2}$

$\mathtt{3^{2x-8}\geq27^{3x}=3^{9x},~\to~2x-8\geq9x;~7x\leq-8,~\to~x\leq-\frac{8}{7}}$

Answer 2

Давайте решим поставленные математические задачи:

1. Найдите значение числового выражения:

8^2/3 + (1/81)^-3/4 + 25^0.5

Для решения этого выражения, сначала выполним операции в скобках, затем возведение в степень и, наконец, сложение:

8^2/3 = 8^(2/3) = ∛(8^2) = ∛64 = 4

(1/81)^-3/4 = (81^3)^1/4 = 81^(3/4) = √(81^(1/2)) = √9 = 3

25^0.5 = √25 = 5

Теперь выражение становится:

4 + 3 + 5 = 12

Ответ: 12

2. Решим уравнения:

a) 4^x + 2 = 32

Вычтем 2 из обеих сторон:

4^x = 30

Теперь возведем обе стороны уравнения в логарифмическую форму с основанием 4:

x = log₄(30)

Используя калькулятор или округлённое значение, получаем:

x ≈ 2.24

б) 5^x - 5^(x-2) = 24

Поскольку 5^(x-2) можно представить как 5^x / 5^2, перепишем уравнение:

5^x - 5^x / 25 = 24

Умножим всё уравнение на 25 для избавления от знаменателя:

25 * 5^x - 5^x = 600

Теперь объединим члены с x:

(25 - 1) * 5^x = 600

24 * 5^x = 600

Разделим обе стороны на 24:

5^x = 25

Теперь возведем обе стороны уравнения в логарифмическую форму с основанием 5:

x = log₅(25)

Используя калькулятор или округлённое значение, получаем:

x = 2

Ответ: x ≈ 2.24 и x = 2.

3. Решим неравенство:

3^(2x - 8) ≥ 27^(3x)

Перепишем 27 в виде 3^3:

3^(2x - 8) ≥ 3^(3 * 3x)

Теперь воспользуемся свойствами степени: если основания степени равны, то степени равны:

2x - 8 ≥ 3 * 3x

Упростим неравенство, деля обе стороны на 3:

2x - 8 ≥ x

Вычтем x из обеих сторон:

x - 8 ≥ 0

Теперь прибавим 8 к обеим сторонам:

x ≥ 8

Ответ: x ≥ 8.