Question

Сума другого і третього членів геометричної прогресії дорівнює 30, а різниця четвертого і другого - 90. Знайти п'ятий член геометричної прогресії

Answer 1

Сумма второго и третьего членов геометрической прогрессии:  $b_2+b_3=30$, а разность четвертого и второго:  $b_4-b_2=90$

Найти нужно  $b_5$

По формуле n членов геометрической прогрессии, имеем

$\displaystyle \left \{ {{b_1q+b_1q^2=30} \atop {b_1q^3-b_1q=90}} \right. ~~~\Rightarrow~~~ \left \{ {{b_1q(1+q)=30} \atop {b_1q(q+1)(q-1)=90}} \right. \\ \\ 30(q-1)=90\\ \\ q-1=3\\ q=4\\ b_1= \dfrac{30}{q(1+q)} = \dfrac{30}{4\cdot(1+4)}= 1.5$


Пятый член геометрической прогрессии:  $b_5=b_1q^4=1.5\cdot 4^4=384$

Answer 2

Для знаходження п'ятого члена геометричної прогресії, нам потрібно знайти перший член прогресії (a) та знаменник прогресії (r).

Позначимо перший член прогресії як "a", а знаменник прогресії як "r".

Даний: другий член прогресії = a * r, третій член прогресії = a * r^2, четвертий член прогресії = a * r^3.

За умовою, сума другого і третього членів геометричної прогресії дорівнює 30:

a * r + a * r^2 = 30.

Також, різниця четвертого і другого членів геометричної прогресії дорівнює 90:

a * r^3 - a * r = 90.

Тепер, у нас є система з двох рівнянь з двома невідомими (a і r). Розв'яжемо її:

1. a * r + a * r^2 = 30.

2. a * r^3 - a * r = 90.

Спочатку знайдемо значення r, поділивши друге рівняння на перше:

(a * r^3 - a * r) / (a * r + a * r^2) = 90 / 30.

Спростимо:

(r^2 - 1) / (r + 1) = 3.

(r^2 - 1) = 3 * (r + 1).

Розкриємо дужки:

r^2 - 1 = 3r + 3.

Помістимо все в одну сторону:

r^2 - 3r - 4 = 0.

Тепер знайдемо корені цього квадратного рівняння. Факторизуємо його:

(r - 4)(r + 1) = 0.

Звідси отримуємо два можливих значення r:

1. r = 4,
2. r = -1.

Так як геометрична прогресія передбачає, що знаменник не може бути від'ємним, то відкинемо значення r = -1.

Тепер знайдемо значення a, підставивши r = 4 в одне з початкових рівнянь:

a * 4 + a * 4^2 = 30.

4a + 16a = 30.

20a = 30.

a = 30 / 20.

a = 3/2.

Тепер, коли ми знаємо значення a і r, можемо знайти п'ятий член прогресії:

П'ятий член прогресії = a * r^4.

П'ятий член прогресії = (3/2) * 4^4.

П'ятий член прогресії = (3/2) * 256.

П'ятий член прогресії = 384.

Отже, п'ятий член геометричної прогресії дорівнює 384.