Question

Найдите промежутки монотонности для функции у=4x^3 -12x^2+7

Answer 1

У'=12x²-24x
y'=0
12x(x-2)=0
x1=0 
x2=2
нанесем корни на числовую ось и определим знаки производной
производная является квадратичной функцией со старшим коэффициентом 12>0 , ⇒ в левом и правом интервале имеет знак + 
а в среднем - 
значит в крайних интервалах функция возрастает а в среднем убывает

Answer 2

Для определения промежутков монотонности функции у=4x^3 -12x^2+7, нужно найти интервалы значений х, на которых производная функции положительна (функция возрастает) или отрицательна (функция убывает).

Шаг 1: Найдем производную функции у по х. У нашей функции у=4x^3 -12x^2+7, а производная функции у' равна: у' = d/dx (4x^3 - 12x^2 + 7) = 12x^2 - 24x

Шаг 2: Найдем критические точки, где производная равна нулю. Для этого решим уравнение у' = 0: 12x^2 - 24x = 0 Вынесем общий множитель: 12x(x - 2) = 0

Таким образом, критическими точками являются x = 0 и x = 2.

Шаг 3: Построим таблицу знаков производной у' в интервалах, разбивающих числовую прямую:

x < 0 | 0 < x < 2 | x > 2

у' > 0 | у' < 0 | у' > 0 возрастает | убывает | возрастает

Шаг 4: Соберем промежутки монотонности функции у=4x^3 -12x^2+7. Функция у возрастает на интервалах (-∞, 0) и (2, +∞), а убывает на интервале (0, 2).

Таким образом, промежутки монотонности функции у=4x^3 -12x^2+7:

1. Убывает на интервале (0, 2).
2. Возрастает на интервалах (-∞, 0) и (2, +∞).