Question

Постройте график функции у = 2х|х| + х^2 – 6х и запишите ее свойства. Напишите подробное(как получиться) решение.

Answer 1

Решение задания приложено

Answer 2

Для построения графика функции у = 2х|х| + х^2 – 6х, мы начнем с анализа ее свойств.

1. Найдем область определения функции: Функция определена для любого значения x, так как у нее нет никаких ограничений в знаменателе или под корнем.

2. Найдем точки пересечения с осями координат: a) Пересечение с осью y (x = 0): y = 2 * 0 * |0| + 0^2 - 6 * 0 = 0 Таким образом, функция проходит через начало координат (0, 0).

   b) Пересечение с осью x (y = 0): 0 = 2х|х| + х^2 - 6х Функция имеет три корня, которые можно найти, приравняв выражение к нулю: х = 0 (уже учтено в предыдущем пункте), х = 2, х = 6.

3. Найдем экстремумы функции: Для этого найдем первую производную функции и приравняем ее к нулю: y' = d/dx (2х|х| + х^2 - 6х) y' = 2|х| + 4х - 6 0 = 2|х| + 4х - 6

   Разделим уравнение на 2 и рассмотрим два случая: а) х >= 0: 0 = |х| + 2х - 3 3 = |х| + 2х 3 = х + 2х х = 1

   б) х < 0: 0 = -х + 2х - 3 3 = х - 2х х = 3

   Таким образом, функция имеет два критических значения: х = 1 и х = 3.

4. Анализ знаков функции: Анализируя знаки первой производной на интервалах (-∞, 1), (1, 3), и (3, ∞), можно определить поведение функции: а) x < 1: y' < 0 (отрицательный), значит, функция убывает на этом интервале. б) 1 < x < 3: y' > 0 (положительный), значит, функция возрастает на этом интервале. в) x > 3: y' < 0 (отрицательный), значит, функция убывает на этом интервале.

5. Найдем значения функции в найденных критических точках и на бесконечностях: a) x = 0: y = 2 * 0 * |0| + 0^2 - 6 * 0 = 0 б) x = 1: y = 2 * 1 * |1| + 1^2 - 6 * 1 = -3 в) x = 2: y = 2 * 2 * |2| + 2^2 - 6 * 2 = 0 г) x = 3: y = 2 * 3 * |3| + 3^2 - 6 * 3 = 3 д) x → +∞: при больших значениях x, степенной член х^2 превалирует, и функция стремится к плюс бесконечности. е) x → -∞: при больших по модулю отрицательных значениях x, степенной член х^2 также превалирует, и функция стремится к плюс бесконечности.

Теперь, когда у нас есть все необходимые данные, мы можем построить график функции у = 2х|х| + х^2 – 6х:

(Вставка графика)

На графике мы видим, что функция проходит через начало координат (0, 0) и имеет пересечения с осью x в точках (2, 0) и (6, 0). Также у нее есть критические точки (1, -3) и (3, 3).

Основные свойства функции:

• Область определения: любое значение x.
• Точки пересечения с осями: (0, 0), (2, 0), (6, 0).
• Экстремумы: минимум в точке (1, -3) и максимум в точке (3, 3).
• Поведение функции: убывает на интервалах (-∞, 1) и (3, ∞), возрастает на интервале (1, 3).
• Поведение на бесконечностях: функция стремится к плюс бесконечности, как x → ±∞.