Question

Y = lnx/ cosx + 1/5*x5 + 3 Найти производную

Answer 1

у = lnx/ cosx + 1/5*x⁵ + 3
y' =  (lnx/ cosx)' + (1/5*x⁵)' + 3'=
=(1/x*Cosx - lnx*(-Sinx))/Cos²x + x⁴ =
=(Cosx + xlnxSinx)/(xCos²x) + x⁴

Answer 2

Для нахождения производной функции Y по переменной x, нужно применить соответствующие правила дифференцирования. Рассмотрим каждое слагаемое отдельно.

1. $Y_1 = \frac{\ln x}{\cos x}$: Для нахождения производной функции $\frac{\ln x}{\cos x}$ применим правило дифференцирования частного функций: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Обозначим $u = \ln x$ и $v = \cos x$. Тогда:

$u' = \frac{1}{x}$ (производная натурального логарифма $\ln x$),

$v' = -\sin x$ (производная косинуса $\cos x$).

Теперь найдем производную:

$\frac{d}{dx}\left(\frac{\ln x}{\cos x}\right) = \frac{\frac{1}{x} \cdot \cos x - \ln x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos x + \ln x \cdot \sin x}{x \cdot \cos^2 x}$.

2. $Y_2 = \frac{1}{5}x^5$: Для функции $\frac{1}{5}x^5$ используем правило дифференцирования степенной функции: $\frac{d}{dx}(x^n) = n \cdot x^{n-1}$.

В данном случае $n = 5$, поэтому:

$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{5}x^5\right) = \frac{1}{5} \cdot 5x^{5-1} = x^4$.

3. $Y_3 = 3$: Производная постоянной равна нулю, поэтому $\frac{d}{dx}(3) = 0$.

Теперь найденные производные объединим в общую производную функции Y:

$Y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{\ln x}{\cos x}\right) + \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{5}x^5\right) + \frac{d}{dx}(3) = \frac{\cos x + \ln x \cdot \sin x}{x \cdot \cos^2 x} + x^4$.

Таким образом, производная функции Y равна: $Y' = \frac{\cos x + \ln x \cdot \sin x}{x \cdot \cos^2 x} + x^4$.