Question

Для функции f от x 2 разделить на корень 1 минус 4 Икс Найдите общий вид первообразных

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Для нахождения первообразной функции $f(x)$, необходимо интегрировать функцию $f(x)$ по переменной $x$. Первообразная функция $F(x)$ будет иметь следующий общий вид:

$F(x) = \int \frac{x^2}{\sqrt{1-4x}} \, dx$

Чтобы решить этот интеграл, можно провести замену переменной $u = 1 - 4x$. Тогда $du = -4 \, dx$. Подставим эти значения в интеграл:

$F(x) = -\frac{1}{4} \int \frac{x^2}{\sqrt{u}} \, du$

Теперь заметим, что $\frac{x^2}{\sqrt{u}}$ представляет собой функцию $u^{\frac{-1}{2}}$, и ее интеграл равен $\frac{x^2}{\frac{1}{2}}\sqrt{u} + C_1$, где $C_1$ - константа интегрирования.

$F(x) = -\frac{1}{4} \left(\frac{x^2}{\frac{1}{2}}\sqrt{u} + C_1\right)$

Теперь вернемся к переменной $x$, используя $u = 1 - 4x$:

$F(x) = -\frac{1}{4} \left(\frac{x^2}{\frac{1}{2}}\sqrt{1 - 4x} + C_1\right)$

Чтобы получить окончательный общий вид первообразных, просто уберем коэффициент $-\frac{1}{4}$:

$F(x) = \frac{x^2}{2}\sqrt{1 - 4x} + C$

Где $C$ - произвольная постоянная интегрирования. Таким образом, это и есть общий вид первообразных для функции $f(x) = \frac{x^2}{\sqrt{1 - 4x}}$.