Question

Помогите, пожалуйста, решить (2x+3)/(x-2)^2-(x-1)/(x(x-2))=5/x

Answer 1

Ваше решение готово:

Answer 2

Давайте решим данное уравнение. Для начала, приведем все дроби к общему знаменателю, чтобы упростить уравнение:

(2x + 3)/(x - 2)^2 - (x - 1)/(x(x - 2)) = 5/x

Для общего знаменателя возьмем произведение (x - 2)^2 * x:

Общий знаменатель: x * (x - 2)^2

Теперь приведем каждую дробь к общему знаменателю:

(2x + 3)/(x - 2)^2 = (x * (x - 1))/(x * (x - 2)^2) + (5 * (x - 2)^2)/(x * (x - 2)^2)

Теперь сложим дроби с общим знаменателем:

(2x + 3)/(x - 2)^2 = (x^2 - x)/(x * (x - 2)^2) + (5x - 10)/(x * (x - 2)^2)

Теперь вычтем правую часть из левой:

(2x + 3)/(x - 2)^2 - [(x^2 - x)/(x * (x - 2)^2) + (5x - 10)/(x * (x - 2)^2)] = 0

Теперь общий знаменатель можно убрать, учитывая, что каждый член имеет его:

(2x + 3) - (x^2 - x + 5x - 10) = 0

Теперь упростим уравнение:

2x + 3 - x^2 + 6x - 10 = 0

Перенесем все члены в одну сторону и упорядочим:

-x^2 + 8x - 7 = 0

Для решения квадратного уравнения, можно использовать квадратную формулу:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

Где у нас:

a = -1 b = 8 c = -7

Подставим значения в формулу:

x = (-(8) ± √(8^2 - 4 * (-1) * (-7))) / 2 * (-1)

x = (-8 ± √(64 - 28)) / -2

x = (-8 ± √36) / -2

x = (-8 ± 6) / -2

Теперь рассмотрим два случая:

1. x = (-8 + 6) / -2 x = -2 / -2 x = 1

2. x = (-8 - 6) / -2 x = -14 / -2 x = 7

Таким образом, уравнение имеет два решения: x = 1 и x = 7. Проверим оба значения, подставив их в исходное уравнение:

При x = 1:

(2 * 1 + 3)/(1 - 2)^2 - (1 - 1)/(1(1 - 2)) = 5/1 (2 + 3)/(-1)^2 - 0/(-1) = 5 5 - 0 = 5 5 = 5 (Верно)

При x = 7:

(2 * 7 + 3)/(7 - 2)^2 - (7 - 1)/(7(7 - 2)) = 5/7 (14 + 3)/5^2 - 6/35 = 5/7 17/25 - 6/35 ≠ 5/7 (Неверно)

Таким образом, единственным корректным решением уравнения является x = 1.